"പരവലയം" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

പരവലയം (തിരുത്തുക)

03:54, 11 ഏപ്രിൽ 2010-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം

324 ബൈറ്റുകൾ നീക്കംചെയ്തിരിക്കുന്നു ,  10 വർഷം മുമ്പ്
(ചെ.)
പുതിയ ചിൽ ...
(ചെ.) (യന്ത്രം ചേര്‍ക്കുന്നു: eu:Parabola (matematika))
(ചെ.) (പുതിയ ചിൽ ...)
[[ചിത്രം:Parabola.svg|right|thumb|196px|ഒരു പരാബൊള]]
[[ചിത്രം:Conicas2.PNG|right|thumb|196px]]
[[ചിത്രം:Parabola showing focus and reflective property.png|196px|thumb|right|പ്രതിഫലത,നിയതരേഖ(പച്ച), നിയതരേഖയേയും ഫോകസിനേയും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വരകള്‍വരകൾ(നീല) എന്നിവ കാണിക്കുന്ന ഒരു ആരേഖം ]]
 
[[ദ്വിമാനതലം|ദ്വിമാനതലത്തില്‍ദ്വിമാനതലത്തിൽ]] രചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരുതരം [[വക്രം|വക്രമാണ്]] '''പരാബൊള'''. ഒരു സമതലത്തില്‍സമതലത്തിൽ ശയിക്കുന്ന ഒരു രേഖയും , ആ രേഖയിലല്ലാത്ത ഒരു ബിന്ദുവും ഉണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ; ആ രേഖയില്‍രേഖയിൽ നിന്നും (നിയതരേഖ; Directrix) ബിന്ദുവില്‍ബിന്ദുവിൽ നിന്നും ( കേന്ദ്രം; focus) ഉള്ള അകലം തുല്യമാകത്തക്കവിധം സഞ്ചരിക്കുന്ന മറ്റൊരു ബിന്ദുവിന്റെ സഞ്ചാരപഥത്തെ ( Locus) ആണ് പരാബൊള (Parabola) എന്നു പറയുന്നത്.
 
ഒരു നേര്‍വൃത്തസ്തൂപികയെനേർവൃത്തസ്തൂപികയെ അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു [[പാര്‍ശ്വരേഖപാർശ്വരേഖ|പാര്‍ശ്വരേഖയ്ക്പാർശ്വരേഖയ്ക്]] സമാന്തരമായി ഒരു സമതലം ഛേദിക്കുമ്പോള്‍ഛേദിക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ദ്വിമാനവക്രരൂപവും പരാബോളയാണ്. [[വൃത്തസ്തൂപിക|വൃത്തസ്തൂപികയുടെ]] ശീര്‍ഷവുംശീർഷവും (Vertex) അതിന്റ [[ആധാരവൃത്തം|ആധാരവൃത്തത്തിലെ]] ഏതെങ്കിലും ഒരു [[ബിന്ദു|ബിന്ദുവും]] ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഋജുരേഖയെയാണ് [[പാര്‍ശ്വരേഖപാർശ്വരേഖ]] എന്നു പറയുന്നത്. വൃത്തസ്തൂപികയെ ഛേദിക്കുന്ന തലത്തിന്, അതിന്റെ അക്ഷവുമായുണ്ടാകുന്ന ചരിവ് അനുസരിച്ച്, പല ദ്വിമാനവക്രങ്ങള്‍ദ്വിമാനവക്രങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു. [[വൃത്തം]], [[ദീര്‍ഘവൃത്തംദീർഘവൃത്തം]], പരാബൊള, [[ഹൈപ്പര്‍ബൊളഹൈപ്പർബൊള]] എന്നിവയാണവ. എന്നാല്‍എന്നാൽ, ഛേദതലം, പ്രസ്തുത നേര്‍വൃത്തസ്തൂപികയെനേർവൃത്തസ്തൂപികയെ ഛേദിക്കാതെ അതിന്റെ വക്രപ്രതലം സ്പര്‍ശിക്കുകസ്പർശിക്കുക മാത്രം ചെയ്യുമ്പോള്‍ചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു ഋജുരേഖയാണ് ലഭിക്കുന്നത്. ഇങ്ങനെ നേര്‍വൃത്തസ്തൂപികനേർവൃത്തസ്തൂപിക ഛേദിച്ചാല്‍ഛേദിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന വക്രങ്ങളെ പൊതുവെ '''വൃത്തസ്തുപികാവക്രങ്ങള്‍വൃത്തസ്തുപികാവക്രങ്ങൾ''' (Conics) എന്നു പറയുന്നു.
 
[[ഭൗതികശാസ്ത്രം|ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും]] [[ജ്യോതിശാസ്ത്രം|ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലും]] [[Engineering|സാങ്കേതികവിദ്യാരംഗങ്ങളിലും]], മറ്റനവധി ശാസ്ത്രമേഖലകളിലും പരാബൊളക്ക് വളരെ പ്രാധാന്യമുണ്ട്.
 
ഒരു ഗോളത്തിന്റെ ഗുരുത്വാകര്‍ഷണത്തിനുഗുരുത്വാകർഷണത്തിനു വിധേയമായി, ക്ഷേപിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ (എറിയപ്പെടുന്ന ഒരു [[ക്രിക്കറ്റ്|ക്രിക്കറ്റു]]പന്ത്, തോക്കില്‍തോക്കിൽ നിന്നു പായുന്ന ഒരു വെടിയുണ്ട മുതലായവ) സഞ്ചാരപഥം പരാബോളയാണ്.
 
== വിശ്ലേഷണജ്യാമിതീസമവാക്യങ്ങൾ ==
== വിശ്ലേഷണജ്യാമിതീസമവാക്യങ്ങള്‍ ==
 
[[ചതുരനിർദ്ദേശാങ്കവ്യവസ്ഥ]]യിൽ <math>y\,\!</math> അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായതും ശീര്‍ഷംശീർഷം <math>(h, k)\,\!</math>ഉം ഫോകസ് <math>(h, k + p)\,\!</math>ഉം നിയതരേഖ <math>y = k - p\,\!</math>ഉം <math>p\,\!</math> ദൂരവും ഉള്ള പരാബോളയുടെ സമവാക്യം
:<math>(x - h)^2 = 4p(y - k) \,</math> ആണ്.
മറ്റൊരു തരത്തിൽ x-അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായ പരാബോളയുടെ സമവാക്യം
 
== ഇതര ജ്യാമിതീയ നിർ‌വചനങ്ങൾ ==
[[ചിത്രം:Conic_sections_2.png|thumb|right|300px|നാലുതരം വൃത്തസ്തുപികാവക്രങ്ങള്‍വൃത്തസ്തുപികാവക്രങ്ങൾ]]
വൃത്തസ്തുപികാവക്രങ്ങളില്‍വൃത്തസ്തുപികാവക്രങ്ങളിൽ, ഏതു ബിന്ദുവില്‍ബിന്ദുവിൽ നിന്നും, കേന്ദ്രത്തിലേക്കും, നിയതരേഖയിലേക്കും ഉള്ള ദൂരങ്ങള്‍ദൂരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തെ വക്രത്തിന്റെ '''ഉത്കേന്ദ്രത''' (Eccentricity) എന്നു വിളിക്കുന്നു. അതായത്, വക്രത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവില്‍ബിന്ദുവിൽ നിന്നും കേന്ദ്രത്തിലേക്കുള്ള അകലം r എന്നും, അതില്‍അതിൽ നിന്നും നിയതരേഖയിലേക്കുള്ള അകലം s എന്നുമിരിക്കട്ടെ, എങ്കില്‍എങ്കിൽ -
 
: ഉത്കേന്ദ്രത, <math> e = \frac{r}{s}\,</math>
 
പരാബൊളയുടെ കാര്യത്തില്‍കാര്യത്തിൽ, മേല്‍പ്പറഞ്ഞമേൽപ്പറഞ്ഞ അകലങ്ങള്‍അകലങ്ങൾ തുല്യമായതിനാല്‍തുല്യമായതിനാൽ, ഉത്‌കേന്ദ്രത '''ഒന്ന്''' ആയിരിക്കും. ഉത്കേന്ദ്രത ഒന്നില്‍ക്കുറവാണെങ്കില്‍ഒന്നിൽക്കുറവാണെങ്കിൽ അതു ദീര്‍ഘവൃത്തവുംദീർഘവൃത്തവും (ellipse) , ഒന്നില്‍ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കില്‍കൂടുതലാണെങ്കിൽ അത് ഹൈപ്പര്‍ബൊളയുംഹൈപ്പർബൊളയും ആയിരിക്കും. ഉത്കേന്ദ്രത പൂജ്യം ആയ വക്രമാണ് [[വൃത്തം]].
 
ദീർഘവൃത്തങ്ങളുടെ ശ്രേണിയുടെ [[സീമ (ഗണിതം)|സീമ]] എന്ന നിലയിൽ പരാബോളയെ പരിഗണിക്കാം.ഈ ദീർഘവൃത്തങ്ങളുടെ ഒരു [[ഫോകസ്]] ഉറപ്പിച്ചും അടുത്ത ഫോകസ് ഒരേ ദിശയിൽ തന്നെ അനിയന്ത്രിതമായി നീങ്ങാനും അനുവദിക്കുന്നു.ഇത്തരത്തിൽ പരാബോളയെ ഒരു ഫോകസ് അനന്തതയിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു [[ദീര്‍ഘവൃത്തംദീർഘവൃത്തം|ദീർഘവൃത്തമായി]] പരിഗണിക്കാം.
 
പരബോളക്ക് പ്രതിഫലന പ്രതിസമതയുള്ള ഒരു [[അക്ഷം]] ഉണ്ട്. ഈ [[അക്ഷം]] പരാബോളയുടെ [[ഫോക്കസ്|ഫോകസിലൂടെ]] കടന്നുപോകുന്നു.നിയതരേഖക്ക് ഇത് [[ലംബം|ലംബവും]] ആണ്. ഈ അക്ഷത്തിന്റേയും പരാബോളയുടേയും സംഗമബിന്ദുവാണ് പരാബോളയുടെ [[ശീർഷം]].
 
== ഫോകസിന്റെ അനുമാനം ==
[[ചിത്രം:Parabola with focus and directrix.svg|right|thumb|400px|നിയതരേഖ(L),ഫോകസ്(F) എന്നിവ കാണിക്കുന്ന ഒരു പരാബോളിക് വക്രം.തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദു P<sub>n</sub>ല്‍ൽ നിന്നും ഫോകസിലേക്കുള്ള ദൂരം P<sub>n</sub> ൽ നിന്നും നിയതരേഖയിലുള്ള Q<sub>n</sub>ലേക്കുള്ള ദൂരത്തിനു തുല്യമാണ്.]]
 
[[ചിത്രം:Parabola with focus and arbitrary line.svg|right|thumb|400px|ഒരു രേഖ(L),ഫോകസ്(F),ശീർഷം(V) എന്നിവ ചിത്രീകരിക്കുന്ന പരാബോളിക് വക്രം . പ്രതിസമതാ അക്ഷത്തിനു ലംബവും ശീർഷത്തിൽ നിന്നും പരാബോളയുടെ ഫോകസിന് വിപരീതവും ആയ നിയമബന്ധിതമല്ലാത്ത ഒരു രേഖയാണ് L.ഏതൊരു രേഖയുടേയും നീളം F - P<sub>n</sub> - Q<sub>n</sub> തുല്യമായിരിക്കും.ഇതുവഴി ഒരു ഫോകസ് അനന്തത്തിലായ ഒരു ദീർഘവൃത്തമാണ് പരാബോള എന്ന് പറയാം.]]
:<math> \sqrt{x^2 + (a x^2 - f)^2 } = a x^2 + f \qquad </math>
 
ഇരുവശത്തിന്റേയും വര്‍ഗ്ഗംവർഗ്ഗം കണ്ടാല്‍കണ്ടാൽ
:<math> x^2 + a^2 x^4 + f^2 - 2 a x^2 f = a^2 x^4 + f^2 + 2 a x^2 f \quad </math>
ഇരുവശത്തേയും പദങ്ങളെ വെട്ടിക്കളഞ്ഞാല്‍വെട്ടിക്കളഞ്ഞാൽ
:<math> x^2 - 2 a x^2 f = 2 a x^2 f, \quad </math>
:<math> x^2 = 4 a x^2 f. \quad </math>
ഇരുവശത്തുനിന്നും x വെട്ടിക്കളഞ്ഞാല്‍വെട്ടിക്കളഞ്ഞാൽ( xപൂജ്യമാവില്ല)
:<math> 1 = 4 a f \quad </math>
:<math> f = {1 \over 4 a } </math>
''p=f'' എന്ന് കരുതിയാല്‍കരുതിയാൽ പരാബോളയുടെ സമവാക്യം
:<math> x^2 = 4 p y \quad </math> എന്ന് കിട്ടുന്നു.
 
:<math>\left (\frac{-b}{2a},\frac{-b^2}{4a}+c+\frac{1}{4a} \right)</math> ആണ്‌.
 
ഇതിനെ മറ്റൊരു രീതിയില്‍രീതിയിൽ
:<math>\left (\frac{-b}{2a},c-\frac{b^2-1}{4a} \right)</math> ഇങ്ങനേയും എഴുതാം
 
നിയതരേഖയെ
:<math>y=\frac{-b^2}{4a}+c-\frac{1}{4a}</math>
എന്ന സമവാക്യം കൊണ്ടും സൂചിപ്പിക്കം.ഈ സമവാക്യത്തെ തന്നെ മറ്റൊരു രീതിയില്‍രീതിയിൽ
:<math>y=c-\frac{b^2+1}{4a}</math> ഇങ്ങനേയും എഴുതാം.
== സ്പർശകത്തിന്റെ പ്രതിഫലനസ്വഭാവം ==
ഇതിൽനിന്നും
<math> \angle FPG \cong \angle GPQ </math>.
എന്ന്കിട്ടുന്നു.''QP'' എന്ന രേഖയെ ''P'' യില്‍യിൽ നിന്നും ''T''എന്ന ബിന്ദുവിലേക്കും ''GP''എന്ന രേഖയെ ''P'' ല്‍ൽ നിന്നും''R''എന്ന ബിന്ദുവിലേക്കും നീട്ടിവരക്കാൻ സാധിക്കും.അപ്പോൾ
<math> \angle RPT </math> and <math> \angle GPQ </math> ലംബങ്ങളായിരിക്കും.ആയതിനാൽ ഇവ സർവസമങ്ങളും ആയിരിക്കും.എന്നാൽ <math> \angle GPQ </math> ,<math> \angle FPG </math>സമങ്ങളായതിനാൽ <math> \angle RPT </math> , <math> \angle FPG </math>ഇവയും സമങ്ങളായിരിക്കും.പരാബോളയിലെ ''P''എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശകമാണ്
''RG'' എന്ന രേഖ.
{{geometry-stub|parabola}}
[[വിഭാഗം:ജ്യാമിതി]]
[[വിഭാഗം:വക്രങ്ങള്‍വക്രങ്ങൾ]]
 
[[af:Parabool]]
Jotter
യന്ത്രങ്ങൾ
64,548

തിരുത്തലുകൾ

"https://ml.wikipedia.org/wiki/പ്രത്യേകം:മൊബൈൽവ്യത്യാസം/661201" എന്ന താളിൽനിന്ന് ശേഖരിച്ചത്