"സമവാക്യം (ഗണിതശാസ്ത്രം)" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, രണ്ട് [[വ്യഞ്ജകം (ഗണിതം)|വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍വ്യഞ്ജകങ്ങൾ]] തുല്യങ്ങളാണെന്ന് കാണിക്കുന്ന പ്രതീകാത്മമകപ്രസ്താവനയാണ് '''സമവാക്യം''' അഥവാ '''സമീകരണം''' (Equation) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.

സമീകരണം സംഖ്യകള്‍സംഖ്യകൾ മാത്രമുള്ളതോ, അക്ഷരങ്ങള്‍അക്ഷരങ്ങൾ അടങ്ങിയ സമതയോ ആവാം. ഒരു സമവാക്യത്തില്‍സമവാക്യത്തിൽ തുല്യത കാണിക്കുന്നതിനായി, = എന്ന സമചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് 2 + 3 = 5 എന്നത് സാംഖ്യികസമതയാണ് (Numerical Equation); x(x − 1) = x² − x എന്നത് ഒരു സാക്ഷരസമതയും (Literal Equation) ആണ്. വാസ്തവികസംഖ്യാഗണത്തിലെ ഏതൊരംഗത്തിനും ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്. അതുകൊണ്ട്, ഈ സമവാക്യം ഒരു [[സദാസത്യസമകം]] (Identity) കൂടിയാണ്. എന്നാല്‍എന്നാൽ, x² − x = 0 എന്ന സമത പരിഗണിച്ചാല്‍പരിഗണിച്ചാൽ, 0,1 എന്നീ രണ്ട് വിലകള്‍വിലകൾ ഒഴിച്ച്, മറ്റൊരു സംഖ്യക്കും ഈ സമത സത്യമല്ല എന്നു കാണാം. അതിനാല്‍അതിനാൽ ഇതൊരു സദാസത്യസമത അല്ല; ഒരു സമവാക്യം മാത്രമാണ്. ഒരു സമവക്യത്തില്‍സമവക്യത്തിൽ ഒന്നിലധികം ചരങ്ങള്‍ചരങ്ങൾ ഉണ്ടാവാം.

[[ബീജഗണിതം|ബീജഗണിതത്തില്‍ബീജഗണിതത്തിൽ]] ഒരു സമവാക്യം സദാസത്യമാണെന്ന് പറയണമെങ്കില്‍പറയണമെങ്കിൽ

#പൂജ്യമല്ലാത്ത എത് അളവുകൊണ്ടും സമത്തിന് ഇരുവശത്തേയും [[ഹരണം|ഹരിച്ചാലോ]], അല്ലെങ്കില്‍അല്ലെങ്കിൽ,

#പൊതുവേ, ഏതു [[ഫലനം|ഫലനവും]] സമത്തിന് ഇരുവശത്തും സംയോജിപ്പിച്ചാലോ സമതയുടെ ഇരുവശത്തെ വ്യഞ്ജകങ്ങളുടെ വില തുല്യമായിരിക്കണം. എന്നാല്‍എന്നാൽ, ഇപ്രകാരം ക്രിയകള്‍ക്രിയകൾ ചെയ്യുമ്പോള്‍ചെയ്യുമ്പോൾ വേറൊരു സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കപ്പെടും.

മേല്‍ക്കാണിച്ചിരിക്കുന്നമേൽക്കാണിച്ചിരിക്കുന്ന, 1 മുതല്‍മുതൽ 4 വരെയുള്ള സവിശേഷതകളുള്ള ഒരു സമത, അതിന്റെ മണ്ഡലത്തിലെ ഒരു [[സര്‍വ്വസമതസർവ്വസമത|സര്‍വ്വസമബന്ധമാണ്സർവ്വസമബന്ധമാണ്]].

അപ്രകാരം എല്ലാ സവിശേഷതകളും ഉള്ള ഒരു മണ്ഡലം, വാസ്തവികസംഖ്യാഗണമാണ്. എന്നാല്‍എന്നാൽ, എണ്ണല്‍സംഖ്യാഗണമോഎണ്ണൽസംഖ്യാഗണമോ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണമോപൂർണ്ണസംഖ്യാഗണമോ എല്ലാ സമവാക്യസവിശേഷതകളും പാലിക്കുന്നില്ല.

ഒരു സമതയിലെ ചരങ്ങളുടെ വില കണ്ടെത്തുന്ന ഗണിതക്രീയയാണ് '''സമവാക്യനിര്‍ദ്ധാരണംസമവാക്യനിർദ്ധാരണം''' എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. ആ വിലകളെ, സമതയുടെ '''മൂല്യങ്ങള്‍മൂല്യങ്ങൾ''' (Roots) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഒരേ മൂല്യങ്ങള്‍മൂല്യങ്ങൾ ഉള്ള സമതകള്‍സമതകൾ തുല്യസമതകളാണ് (Equivalent Equations). x² = 3x - 2 എന്ന സമതയുടേയും x² + 2 = 3x എന്ന സമതയുടെയും രണ്ടു മൂല്യങ്ങളും (അതായത്, 1,2 എന്നീ സംഖ്യകള്‍സംഖ്യകൾ) തുല്യങ്ങളാണ്. അതുകൊണ്ട് അവ തുല്യസമതകളാണ്.

ഒരു സമതയെ അതിന്റെ തുല്യസമതകള്‍തുല്യസമതകൾ കൊണ്ട് തുടര്‍ച്ചയായിതുടർച്ചയായി മാറ്റി ലഘൂകരിച്ചു കൊണ്ട് നിര്‍ദ്ധാരണംനിർദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നത്. സമതകള്‍സമതകൾ നിര്‍ദ്ധാരണംനിർദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിന് സാധാരണ താഴെക്കാണുന്ന ഉപായങ്ങള്‍ഉപായങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു:

# തുല്യസമതകള്‍കൊണ്ടുള്ളതുല്യസമതകൾകൊണ്ടുള്ള പുന:സ്ഥാപനം. (x+1)² = 2x + 5 എന്ന സമതയെ x²+ 2x +1 = 2x + 5 എന്ന് മാറ്റാം.

# സമതയിലെ പദങ്ങള്‍പദങ്ങൾ ഇരുവശത്തേക്കും ക്രമീകരിച്ചുകൊണ്ട്. x²+ 2x +1 = 2x + 5 എന്നത്, x²+ 2x +1 - 2x - 5 = 0 എന്നെഴുതാം. ഇതില്‍ഇതിൽ നിന്ന് x² - 4 = 0 എന്ന സമത ലഭിക്കുന്നു. ഇത് ആദ്യസമതയുടെ തുല്യസമതയാണ്.

# സമതയുടെ ഇരുവശത്തും ഒരേ സംഖ്യകൊണ്ടോ, ഒരേ വ്യഞ്ജകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്തുകൊണ്ടോ; ''എന്നാല്‍എന്നാൽ ഇപ്രകാരം ചെയ്യുമ്പോള്‍ചെയ്യുമ്പോൾ, വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍വ്യഞ്ജകങ്ങൾ, പൂജ്യമായിത്തീരാന്‍പൂജ്യമായിത്തീരാൻ സാധിക്കുന്നവയായിരിക്കരുത്; അത് പുതിയ തുല്യസമതയെ സൃഷ്ടിക്കുകയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, (x+2) (x-1) = 4 (x-1) എന്ന സമതയെ, (x-1) എന്ന വ്യഞ്ജകം കൊണ്ടു വിഭജിക്കുമ്പോള്‍വിഭജിക്കുമ്പോൾ, x+2 = 4 എന്ന സമത ലഭിക്കുന്നു. ഇതിന് x=2 എന്ന ഒരു മൂല്യം മാത്രമാണുള്ളത്, എന്നാല്‍എന്നാൽ ആദ്യസമതയ്ക്ക്, X=1 എന്ന മറ്റൊരു മൂല്യം കൂടിയുണ്ട്. അതുപോലെ, x+2 = 4 എന്ന സമത നിര്‍ദ്ധാരണംനിർദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോള്‍ചെയ്യുമ്പോൾ, സമതയുടെ ഇരുവശത്തും (x-1) എന്ന വ്യഞ്ജകം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ഗുണിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന പുതിയ സമതയ്ക്ക്, x=2 എന്ന ഒരു മൂല്യമാത്രമുള്ള ആദ്യസമതയേക്കാള്‍ആദ്യസമതയേക്കാൾ, x=1 എന്ന ഒരു മൂല്യം കൂടുതലായുണ്ട്. അതുകൊണ്ട്, സമതകള്‍സമതകൾ നിര്‍ദ്ധാരണംനിർദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോള്‍ചെയ്യുമ്പോൾ, ഇങ്ങനെ ആദ്യസമതയുടേ മൂല്യങ്ങള്‍മൂല്യങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടാതിരിക്കുവാനും, പുതിയ മൂല്യങ്ങള്‍മൂല്യങ്ങൾ അധികമായി വന്നു ചേരാതിരിക്കുവാനും സവിശേഷം ശ്രദ്ധിക്കണം.''

# അതുപോലെ ഒരു സമതയുടെ ഇരുവശവും ഒരു കൃത്യങ്കം കൊണ്ട് ഉയര്‍ത്തുവാനുംഉയർത്തുവാനും, ഒരേപോലെ മൂലനിര്‍ണയംമൂലനിർണയം ചെയ്യുവാനും കഴിയും. ''എന്നാല്‍എന്നാൽ, അപ്രകാരം കിട്ടുന്ന സമതകള്‍സമതകൾ തുല്യങ്ങളായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല; ഉദാഹരണത്തിന്, 2x=6 എന്ന സമതയ്ക്, x=3 ഒരു മൂല്യം മാത്രമാണുള്ളത്; എന്നാല്‍എന്നാൽ, (2x)²=36 എന്ന സമതയ്ക്ക്, x= 3, -3 എന്നിങ്ങനെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. അതുകൊണ്ട്, ഈ സവിശേഷത പ്രധാനമായും ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കണം.''

ഇരുവശത്തും [[ഏകപദം|ഏകപദങ്ങളോ]](Mononomial), [[ബഹുപദം|ബഹുപദങ്ങളോ]] (Polynomial) മാത്രമുള്ള ഒരു സമതയാണ് [[ബീജീയസമതകള്‍ബീജീയസമതകൾ]] (Algebraic Equations). bx+ay² = xy + 2^m എന്ന സമത, രണ്ടു ചരങ്ങളിലുള്ള ഒരു ബീജീയസമതയാണ്; എന്നാല്‍എന്നാൽ, bx+ay² = xy + 2^x ഒരു ബിജീയസമതയല്ല; കാരണം, 2^x എന്നത് ഒരു ഏകപദമല്ല.

ക്രമപ്പെടുത്തിയ ഒരു ബീജീയസമതയിലെ പദങ്ങളിലെ അജ്ഞാതചരങ്ങളുടെ കൃത്യങ്കങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ഉയര്‍ന്നഉയർന്ന തുക, ആ ബിജീയസമതയുടെ '''കൃതി''' (Degree) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങള്‍ഉദാഹരണങ്ങൾ: 4x³ + 2x² - 17x = 4x³ - 8 എന്ന സമത ക്രമപ്പെടുത്തുമ്പോള്‍ക്രമപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, 2x² - 17x + 8 = 0 എന്നു കിട്ടുന്നു. അതുകൊണ്ട്, മേല്‍സമതയുടെമേൽസമതയുടെ കൃതി രണ്ടാണ് ; a⁴x+b⁵=c⁵ എന്ന സമതയുടെ കൃതി 1 ആണ് ; a²x⁵+bx³y³-a⁸xy⁴-2=0 എന്ന ദ്വിചരസമതയിലെ അജ്ഞാതചരങ്ങളായ എന്നിവയുടെ കൃത്യങ്കങ്ങളുടെ ഏറ്റവും കൂടിയ തുക 6 ആണ് ( ആദ്യപദത്തിലും, മൂന്നാം പദത്തിലും). അതുകൊണ്ട്, സമതയുടെ കൃതി 6 ആണ്.

നിര്‍ദ്ധാരണംനിർദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോള്‍ചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു ബിജീയസമവാക്യമായി ലഘൂകരിക്കപ്പെടുന്ന സമതകളും ബീജീയസമതകളായി പരിഗണിക്കാറുണ്ട്.

(x+1)/(x-1) = 2x എന്ന സമത രണ്ടാം കൃതിയുള്ള സമതയാണ്. ലഘൂകരിക്കുമ്പോള്‍ലഘൂകരിക്കുമ്പോൾ, 2x² -3x-1 = 0 എന്നതുല്യസമത ലഭിക്കുന്നു.

എത്രതന്നെ അജ്ഞാതചരങ്ങള്‍അജ്ഞാതചരങ്ങൾ ഉണ്ടായാലും, കൃതി ഒന്നായ സമതകളെ‍, '''രേഖീയസമതകള്‍രേഖീയസമതകൾ''' (Linear Equations)എന്നു വിളിക്കുന്നു.

{{ബീജഗണിതം-അപൂര്‍ണ്ണംഅപൂർണ്ണം|Equation}}