"തൊടുവര" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

[[Image:Tangent to a curve.svg|220px|right|thumb|ഒരു വക്രത്തിന്റെവക്രത്തിൻ്റെ തൊടുവര.]]

[[Image:Image Tangent-plane.svg|220px|right|thumb|ഒരു ഗോളത്തിന്റെഗോളത്തിൻ്റെ തൊടുതലം.]]

ഒരു വക്രത്തിലെ ഒരു ബിന്ദു മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന രേഖയാണ് വക്രത്തിന്റെവക്രത്തിൻ്റെ ആ ബിന്ദുവിലെ '''ടാൻജെന്റ്തൊടുവര'''. ഇത് സ്പർശകം അഥവാ സ്പർശരേഖ (tangent line) എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു.

സ്പർശരേഖകൾ എന്നാണ് തൊടുവരകൾ എന്നതിന്റെഎന്നതിൻ്റെ പഴയപേര്. വക്രത്തിൽ ഒരു ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പർശകം ആ ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള ഏതെങ്കിലും ഛേദകരേഖ(secant)യുടെ സീമാന്തസ്ഥാന (limiting position)മായി കരുതാവുന്നതാണ്.

*ഒരു വൃത്തത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ തൊടുന്ന വരയെ വൃത്തത്തിന്റെവൃത്തത്തിൻ്റെ തൊടുവര എന്നുപറയുന്നു.

*ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽക്കൂടിയുള്ള രേഖ, ആ ബിന്ദുവിൽക്കൂടി യുള്ള ആരത്തിനു ലംബമാണെങ്കിൽ ആ രേഖ വൃത്തത്തിന്റെവൃത്തത്തിൻ്റെ തൊടുവരയായിരിക്കും.

ദ്വിമാന തലത്തിൽ <math>y =f f(x)</math> എന്ന വക്രത്തിലെ <math>P(x, y)</math> എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശകം X-അക്ഷത്തിന്റെ<math>x</math> അക്ഷത്തിൻ്റെ ധനാത്മകദിശയുമായി ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന കോണത്തിന്റെകോണത്തിൻ്റെ അളവ് θആയാൽ<math>\theta</math> tanθആയാൽ <math>\tan(\theta)=f '(x)</math>.Tan θ<math>\tan(\theta)</math> യെ സ്പർശകത്തിന്റെസ്പർശകത്തിൻ്റെ ചരിവ് (slope) എന്നു പറയുന്നു. ചരിവിനെ കുറിക്കാൻ '<math>m'</math> എന്ന പ്രതീകമുപയോഗിച്ചാൽ <math>m = f ' (x)</math> എന്നു കിട്ടുന്നു. വക്രത്തിലെ <math>(x1x_1, y1y_1)</math> എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പർശകത്തിന്റെസ്പർശകത്തിൻ്റെ സമീകരണമാണ് <math>y - y1y_1 = f ' (x1x_1) (x -x1 x_1)</math>.

ഉദാഹരണമായി x2<math>x_2 + y2y_2 = a2a_2</math> എന്ന വൃത്തത്തിലെ <math>(x1x_1, y1y_1)</math> എന്ന ബിന്ദുവിൽ വരയ്ക്കുന്ന സ്പർശകത്തിന്റെസ്പർശകത്തിൻ്റെ സമീകരണമാണ് xx1<math>x\cdot x_1 + yy1y\cdot y_1 = a2a_2</math>. പരാബൊളയുടെ[[പരവലയം|പരവലയത്തിൻ്റെ]] മാനക സമീകരണം y2<math>y_2 = 4ax</math>. ഇതിലെ <math>(x1x_1, y1y_1)</math> എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പർശകത്തിന്റെസ്പർശകത്തിൻ്റെ സമീകരണം yy1<math>y\cdot y_1 = 2a (x + x1x_1)</math> ആണ്.

ഒരു വക്രത്തിലെ <math>P (x, y)</math> എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശകം X<math>x</math> അക്ഷത്തെ <math>T</math> എന്ന ബിന്ദുവിൽ പ്രതിച്ഛേദിച്ചാൽ <math>P</math> യും <math>T</math> യും തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെ സ്പർശക ദൂരം (length of the tangent) എന്നു പറയുന്നു.

സ്പർശതലം (tangent plane). ഒരു പ്രതല(surface)ത്തിലുള്ള <math>P</math> എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു രേഖ സ്പർശകമാകണമെങ്കിൽ ആ ബിന്ദുവിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വക്രത്തിന് (പ്രതലത്തിലുള്ളത്) ഈ രേഖ സ്പർശകമായിരിക്കണം. p<math>P</math> യിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന എല്ലാ സ്പർശകങ്ങളും ഉള്ള സമതലത്തെ സ്പർശതലം എന്നു പറയുന്നു. <math>f (x, y, z) = 0</math> എന്ന പ്രതലത്തിലെ <math>(xx_1, 1y_1,y1,z1 z_1)</math> എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശതലത്തിന്റെസ്പർശതലത്തിൻ്റെ സമീകരണമാണ് f1<math>f_1(x1x_1,y1 y_1,z1 z_1) (x - x1x_1) + f2f_2 (x1x_1,y1 y_1,z1 z_1) (y - y11y_{11}) + f3f_3 (x1x_1,y1 y_1,z1 z_1) (z -z11 z_{11}) = 0</math>.

ഇതിൽf1ഇതിൽ <math>f_1,f2 f_2,f3എന്നിവ f_3</math> എന്നിവ <math>(x1x_1,y1 y_1,z1 z_1)</math> ലെ <math>f</math> ന്റെൻ്റെ <math>x, y, z</math> കൊണ്ടുള്ള ആംശിക (partial) അവകലജങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് x2<math>x_2 + y2y_2 +z2z_2 = a2a_2</math> എന്ന ഗോളത്തിന്റെഗോളത്തിൻ്റെ <math>(x1y1z1x_1, y_1, z_1)</math> എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശതലമാണ് <math>x\cdot x1x_1 + yy1y\cdot y_1 + zz1z\cdot z_1 = a2a_2</math>.

ടാൻജെന്റ് ഫലനം (tangent function). സമകോണിക കാർട്ടീഷ്യൻ തലത്തിൽ <math>P(x, y)</math> ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവും ∠<math>\angle XOP = A</math> യും ആയാൽ അ യുടെ ടാൻജെന്റ് ഫലനം <math>\tan (A) = \fractfrac{ y}{x}</math> എന്ന് എഴുതുന്നു. A-യ്ക്ക് മാറ്റം വരുന്നതനുസരിച്ച് <math>\tan (A)</math> യുടെ വിലയും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന് <math>\tan (0°^\circ) = 0 ;\ \tan (45°^\circ) = 1;\ \tan (90°^\circ) = ∞\infty</math>. ഏതെങ്കിലുമൊരു ത്രികോണം <math>ABC</math> യിൽ കോണങ്ങൾ <math>A, B, C</math> യുടെ എതിർവശങ്ങൾ <math>a, b, c</math> ആയാൽ

<math>\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c}Cot \cot\left(\frac{A}{2}\right)</math>

<math>y = \tan (x)</math> എന്ന ഫലനത്തിന്റെഫലനത്തിൻ്റെ ആലേഖ(graph)ത്തെ ടാൻജെന്റ് വക്രം (tangent curve) എന്നു പറയുന്നു. ഇതൊരു സന്തത (continouscontinuous) വക്രമല്ല. മൂലബിന്ദുവിൽക്കൂടി പോകുന്ന വക്രത്തിന്റെവക്രത്തിൻ്റെ ശാഖ Image:pno72formula2.png ഈ രേഖകൾക്ക് അനന്തസ്പർശരേഖീയ (asymptotic)മാണ്