"രേഖീയസമവാക്യം" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

No edit summary
റ്റാഗ്: 2017 സ്രോതസ്സ് തിരുത്ത്
No edit summary
റ്റാഗ്: 2017 സ്രോതസ്സ് തിരുത്ത്
വരി 14:
 
{{mvar|a}} എന്ന സ്ഥിരാങ്കം [[നേർ‌രേഖ | നേർരേഖയുടെ]] [[slope|ആനതിയെ]](സ്ലോപ്പ്, Slope) സൂചിപ്പിക്കുന്നു. b എന്ന സ്ഥിരാങ്കം നേർരേഖ Y അക്ഷത്തിന് കുറുകെകടക്കുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന ബിന്ദുവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
രണ്ടു ചരങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു രേഖീയസമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ നിർദ്ധാരണമൂല്യങ്ങളെയും രണ്ടു മാനങ്ങളുള്ള ഒരു യൂക്‌ളീഡിയൻ [[പ്രതലം|പ്രതലത്തിൽ]] അടയാളപ്പെടുത്തിയാൽ ഒരു [[നേർ‌രേഖ | നേർരേഖ]] ലഭിയ്ക്കുന്നു. അതുപോലെ തിരിച്ച് ഏതൊരു നേർരേഖയും ഏതെങ്കിലും ഒരു രേഖീയസമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണമൂല്യങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയാൽ കിട്ടുന്നതാണെന്നും പറയാം.<ref name="UTAH">{{cite book |title=8th Grade Mathematical Foundations - Complete |year=2014 |publisher=UTAH EDUCATION NETWORK|chapter=3 | url=https://eq.uen.org/emedia/file/326a51e5-2ffc-4f35-9755-f0b48b07f03d/1/8-Mathematical-Foundations-Complete.pdf | accessdate=25 മേയ് 2018}}</ref><ref> {{cite book |first1=R.A.|last1=Barnett|first2=M.R.|last2=Ziegler|first3=K.E.|last3=Byleen|title=College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences|edition=11th|year=2008|publisher=Pearson|place=Upper Saddle River, N.J.|isbn=0-13-157225-3}}</ref> രേഖകളുമായുള്ള ഈ ബന്ധത്തിൽ നിന്നാണ് ''രേഖീയ''സമവാക്യം എന്ന പേര് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. കൂടുതൽ സാമാന്യമായി, {{mvar|n}} ചരങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം {{mvar|n}} മാനങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു [[Euclidean space | യൂക്‌ളീഡിയൻ സ്പേസിൽ]] {{math|''n'' – 1}} മാനങ്ങൾ ഉള്ള ഒരു ഹൈപ്പർ-സർഫേസ് സൃഷ്ടിയ്ക്കുന്നു.
 
ഗണിതത്തിലെ പല ശാഖകളിലും ഇതിന്റെ ഉപയോഗം വരുന്നുണ്ട്. ഇത് കൂടാതെ [[physics | ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും]] [[engineering | എഞ്ചിനീയറിംഗ്]] മേഖലയിലും പല പ്രായോഗികപ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിയ്ക്കാനും ഇത് ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നു.
വരി 109:
 
===സ്ലോപ്പ്–ഇന്റർസെപ്റ്റ് രൂപം===
:<math>y = mx + b,</math><ref>{{cite web |url=http://www.columbia.edu/itc/sipa/math/slope_intercept.html |title=Slope Intercept Form of a Linear Equation |accessdate=26 മേയ് 2018}}</ref>
:<math>y = mx + b,</math>
 
''m'' നേർരേഖയുടെ സ്ലോപ്പും ''b'' അതിന്റെ ''y'' ഇന്റർസെപ്റ്റ്'ഉം ആണ്. മുകളിൽ പറഞ്ഞ പോലെ ''y'' ഇന്റർസെപ്റ്റ് എന്നത് നേർരേഖ ''y'' അക്ഷത്തിനെ സന്ധിയ്ക്കുന്ന ബിന്ദുവാണ്. ''x'' നു ഈ സമവാക്യത്തിൽ 0 എന്ന വില കൊടുത്തുനോക്കിയാൽ ഈ ഇന്റർസെപ്റ്റ് ലഭിയ്ക്കും. എന്നാൽ നിശ്ചിത സ്ലോപ്പ് ഇല്ലാത്ത ലംബരേഖകളെ ഈ രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധ്യമല്ല.
വരി 124:
 
===ബിന്ദു–ആനതി രൂപം===
:<math>y - y_1 = m( x - x_1 ),\,</math><ref name="UTAH"/>
 
''m'' എന്നത് സ്ലോപ്പും(ആനതി) (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>) എന്നത് രേഖയിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവുമാണ്. രേഖീയസമവാക്യത്തിന്റെ ഈ രൂപം മുകളിൽ എഴുതിയ അംശബന്ധത്തിന്റെ ആശയം കൂടുതൽ സ്പഷ്ടമായി കാണിയ്ക്കുന്നു. ഒരു നേർരേഖയിലെ ഏതു രണ്ടു ബിന്ദുക്കളുടെയും ''y'' നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ''x'' നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത മടങ്ങ് (''m'') ആണെന്നാണ് ഇത് വ്യക്തമാക്കുന്നത്.
 
===ബിന്ദു–ബിന്ദു രൂപം===
:<math>y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1),\,</math><ref>{{cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/Two-PointForm.html |title=Two-Point Form | first= Eric W.|last=Weisstein |accessdate=26 മേയ് 2018}}</ref>
 
(''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''y''<sub>1</sub>), (''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''y''<sub>2</sub>) എന്നിവ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്ന രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ ആണ്. മുകളിൽ കൊടുത്ത ബിന്ദു-ആനതി രൂപത്തിന്റ മറ്റൊരു രൂപമാണിത്. ഈ സമവാക്യത്തിൽ 'x''<sub>2</sub> ≠ ''x''<sub>1</sub> ആയിരിയ്ക്കണം. സ്ലോപ്പ് ''m'' എന്നതിനെ താഴെക്കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്നതു പോലെ എഴുതിയിരിയ്ക്കുന്നു.
വരി 148:
x_2&y_2&1
\end{vmatrix}
=0\,.</math><ref>{{cite web |url=https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/applications.html |title=6.5 - Applications of Matrices and Determinants | first= James|last=Jones |accessdate=26 മേയ് 2018}}</ref>
=0\,.</math>
 
===ഇന്റർസെപ്റ്റ് രൂപം===
: <math>\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1,\,</math><ref>{{cite web |url=http://www.math.uconn.edu/~stein/math1070/Slides/math1070-120notes.pdf |title=Equations of Lines | first= Alan|last=Stein |accessdate=26 മേയ് 2018}}</ref>
''a'' യും ''b'' യും പൂജ്യം ആകരുത്. ഇതിന്റെ ആരേഖത്തിൽ ''x''-ഇന്റർസെപ്റ്റ് ''a'' യും ''y''-ഇന്റർസെപ്റ്റ് ''b'' യും ആകുന്നു. നേർരേഖയുടെ സാമാന്യരൂപത്തെ ''A''/''C'' = 1/''a'' ആയും ''B''/''C'' = 1/''b'' ആയും മാറ്റി ഇന്റർസെപ്റ്റ് രൂപത്തിലേക്ക് ആക്കാം. ആധാരബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖകളോ ലംബരേഖകളോ തിരശ്ചീനരേഖകളോ ഇപ്രകാരം രേഖപ്പെടുത്താൻ സാധ്യമല്ല.
 
വരി 162:
: <math>A_1x + B_1y = C_1,\,</math>
: <math>A_2x + B_2y = C_2,\,</math>
ഇങ്ങനെ എഴുതാം:<ref>{{cite web |url=https://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/system/system.html |title=Systems of Linear Equations | accessdate=26 മേയ് 2018}}</ref>
ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
:<math>
\begin{pmatrix}
വരി 176:
\end{pmatrix}.</math>
 
ഈ രൂപം രണ്ടുമാനങ്ങൾക്കു മാത്രം ബാധകമായ ഒന്നല്ല. എത്ര ചരങ്ങൾ ഉള്ള സിസ്റ്റം ആയാലും ഈ രൂപത്തിൽ ഒരു മാട്രിക്സ് നിർമ്മിച്ച് രേഖപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്. [[linear algebra |രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിൽ]] ഇത്തരത്തിൽ എഴുതുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ ചതുരമൂശകളുടെ അടിസ്ഥാനസങ്കേതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള വ്യത്യസ്തത പ്രക്രിയകൾ വഴി നിർദ്ധരിയ്ക്കാവുന്നതാണ്. [[Gauss-Jordan | ഗൗസ്-ജോർദാൻ രീതി]] ഇത്തരം ഒരു പ്രക്രിയയാണ്.<ref>{{cite web |url=http://www.numbertheory.org/book/cha1.pdf |title=LINEAR EQUATIONS |pages=8| last = Matthews | first = Keith |accessdate=25 മേയ് 2018}}</ref>
 
===പാരാമെട്രിക്‌ രൂപം===
:<math>x = T t + U\,</math>
:<math>y = V t + W.\,</math><ref>{{cite web |url=https://textbooks.math.gatech.edu/ila/parametric-form.html|title=2.3Parametric Form |first1=Joseph|last1=Rabinoff|first2= Dan|last2=Margalit | accessdate=26 മേയ് 2018}}</ref>
:<math>y = V t + W.\,</math>
 
മുകളിലെ രണ്ടു സമവാക്യങ്ങൾ ഒരുമിച്ചു ചേർന്നതാണ് പാരാമെട്രിക്‌ രൂപം. ഇവിടെ ''t'' എന്നത് മാറിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കുന്ന ഒരു പാരാമീറ്റർ ആണ്. ''x'' ഉം ''y'' ഉം ഈ പാരാമീറ്ററിന്റെ വിലകൾക്കനുസരിച്ച് മാറിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കുന്നു. ഈ രേഖയുടെ സ്ലോപ്പ് {{nowrap|1=''m'' = ''V'' / ''T''}} ഉം ''x''-ഇന്റർസെപ്റ്റ് {{nowrap|1=(''VU'' - ''WT'') / ''V''}} ഉം ''y''-ഇന്റർസെപ്റ്റ് {{nowrap|1=(''WT'' - ''VU'') / ''T''}} ഉം ആണ്.
"https://ml.wikipedia.org/wiki/രേഖീയസമവാക്യം" എന്ന താളിൽനിന്ന് ശേഖരിച്ചത്