"നോതെറുടെ പ്രമേയം" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
Content deleted Content added
No edit summary റ്റാഗ്: 2017 സ്രോതസ്സ് തിരുത്ത് |
No edit summary റ്റാഗ്: 2017 സ്രോതസ്സ് തിരുത്ത് |
||
വരി 3:
== പശ്ചാത്തലവും അടിസ്ഥാന വിവരണവും ==
[[File:RotationalSymmetryNoetherMalayalam.jpg|thumb|സമചതുരം 90 ഡിഗ്രി തിരിച്ചത്]]
[[File:RotationalNonSymmetryNoetherMalayalam.jpg|thumb|സമചതുരം 45 ഡിഗ്രി തിരിച്ചത്]]
[[File:RotationalSymmetryCircleNoetherMalayalam.jpg|thumb|വൃത്തം 0.01 ഡിഗ്രി തിരിച്ചത്]]
ഇവിടെ ചില പദങ്ങൾ കൂടുതലായി വിശദീകരിയ്ക്കാം. ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ''സമമിതി'' എന്നതുകൊണ്ട് ആ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് മാറ്റം വരാതെ തന്നെ ആ സിസ്റ്റത്തിൽ ചെയ്യാവുന്ന ഒരു പ്രവർത്തനം ആണ് ഉദ്ദേശിയ്ക്കുന്നത്. വലതുവശത്ത് കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്ന ഉദാഹരണം ശ്രദ്ധിയ്ക്കുക. ഈ [[സമചതുരം | സമചതുരത്തെ]] സ്‌ക്രീനിന്റെ പ്രതലത്തിൽ 90 ഡിഗ്രി ചെരിച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് വീണ്ടും ഒരു സമചതുരം തന്നെയാണ്. ഇനി ഇതിനെ എത്ര തവണ 90 ഡിഗ്രി തിരിച്ചാലും കിട്ടുന്നത് അതേ സമചതുരം തന്നെയായിരിയ്ക്കും. അതായത് സമചതുരം എന്ന സിസ്റ്റത്തിന് 90 ഡിഗ്രി ഭ്രമണം എന്ന പ്രവർത്തനത്തെ ആസ്പദമാക്കി സമമിതി ഉണ്ടെന്നു പറയാം. എന്നാൽ 45 ഡിഗ്രി തിരിച്ചാലോ? രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം ഇവിടെ കാണിയ്ക്കുന്നത് ഇത്തരം ഒരു ഭ്രമണത്തിൽ സമചതുരത്തിന്റെ സമമിതി നഷ്ടപ്പെടുന്നു എന്നാണ്. അതായത് 0, 90, 180, 270 എന്നീ അളവുകളിൽ അല്ലാതെ മറ്റേതൊരു അളവിൽ സമചതുരത്തെ തിരിച്ചാലും അത് സമമിതമായിരിയ്ക്കില്ല.
എന്നാൽ ഒരു [[വൃത്തം | വൃത്തത്തിന്റെ]] കാര്യം എടുക്കുക, ഇതിനെ ഏതു അളവിൽ തിരിച്ചാലും അതേ വൃത്തം തന്നെ ലഭിയ്ക്കുന്നു. അതായത് തന്നിരിയ്ക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തെ [[അനന്തസൂക്ഷ്മം | അനന്തസൂക്ഷ്മമായ]] (ഇന്ഫെനേറ്റീസിമൽ) അളവിൽ തിരിച്ചാലും അതേ വൃത്തം തന്നെ ലഭിയ്ക്കുന്നു. ഇത്തരം സമമിതി അനസ്യൂതമാണെന്നു പറയാം. സമചതുരത്തിന്റെ ഭ്രമണസമമിതി അനസ്യൂതം അല്ല.
നോതെറുടെ പ്രമേയം രണ്ടാമത്തെ തരം സമമിതികളെക്കുറിച്ചുള്ളതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് ന്യൂട്ടന്റെ ചലനനിയമങ്ങൾ പ്രപഞ്ചത്തിൽ എവിടെ വെച്ചും സാധുവാണ്. അതായത് ചലനം നടക്കുന്ന സ്ഥാനം മാറിയാലും അതിന്റെ നിയമങ്ങൾ മാറ്റമില്ലാതെ നിൽക്കുന്നു എന്നർത്ഥം. ഇവിടെ സ്ഥാനം മാറുന്ന പ്രക്രിയയെ മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഉദാഹരണത്തിലെ വൃത്തത്തിന്റെ ഭ്രമണത്തോട് ഉപമിയ്ക്കാം. ഈ സമമിതി അനുസ്യൂതമാണ്. സ്ഥാനത്തിൽ എത്ര ചെറിയ മാറ്റം വന്നാലും നിയമങ്ങൾ മാറാതെ നിൽക്കുന്നു. ഇവിടെ സിസ്റ്റം എന്നതുകൊണ്ട് ഉദ്ദേശിയ്ക്കുന്നത് നമ്മൾ ചലനം ഏതു വസ്തുവിലാണോ നിരീക്ഷിയ്ക്കുന്നത്, ആ വസ്തുവും അതിന്റെ ചുറ്റുപാടുകളും ആണ്.
ഇത്തരം ഒരു സിസ്റ്റവും അതിലെ സമമിതിയും കണ്ടെത്തിയാൽ അതിൽ നിന്നും നോതെരുടെ പ്രമേയപ്രകാരം നമുക്ക് ഒരു [[Conservation law | സംരക്ഷണനിയമം]] ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം.<ref name="Discover">{{cite web |url=http://discovermagazine.com/2017/june/the-universe-according-to-emmy-noether |title=The Universe According to Emmy Noether |website=Discover Magazine |date=12 June 2017|accessdate=23 May 2018}}</ref> സ്ഥാനത്തിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്(സ്ഥാനാന്തരം) ചേർന്ന സംരക്ഷണം [[ആക്കം]] അഥവാ സംവേഗത്തിന്റേതാണ്. അതായത് ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിൽ സ്ഥാനത്തിനനുസരിച്ച് മാറ്റം വരുന്നില്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ സംവേഗം എപ്പോഴും സ്ഥിരമായിരിയ്ക്കും. ഇത് തിരിച്ചും ബാധകമാണ്. ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ സംവേഗം സ്ഥിരമാണെങ്കിൽ അതിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിൽ സ്ഥാനത്തിനനുസരിച്ച് മാറ്റം വരുന്നില്ല.
ഇതുപോലെയുള്ള മറ്റൊരു സമമിതിയാണ് സമയത്തിലുള്ള സമമിതി. ന്യൂട്ടോണിയൻ ചലനനിയമങ്ങൾ എപ്പോൾ ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നു എന്നതിനെ അപേക്ഷിച്ച് ഉത്തരം മാറില്ല. അതായത് ഇത് സമയത്തെ അപേക്ഷിച്ച് അനുസ്യൂതമായ സമമിതിയാണ്. ഈ അവസ്ഥയിൽ നോതെറുടെ പ്രമേയപ്രകാരം സംരക്ഷിയ്ക്കപ്പെടുന്ന പരിമാണം [[Energy | ഊർജമാണ്]]. ഇതിനെ തിരിച്ച്, ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ ഊർജം സംരക്ഷിയ്ക്കപ്പെടുന്നുണ്ടെങ്കിൽ ആ സിസ്റ്റത്തിന് സമയത്തിൽ സമമിതി ഉണ്ടെന്നും പറയാം.
ഒരു കാര്യം ഓർക്കാനുള്ളത് ഈ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ സമമിതി ചലനനിയമങ്ങൾക്ക് ആണ്. സമചതുരത്തിന്റെ ഉദാഹരണം ഇവിടെ നേരിട്ട് ഉപയോഗിയ്ക്കാൻ പാടില്ല. അവിടെ സമചതുരത്തിന്റെ രൂപത്തിനായിരുന്നു സമമിതി. അതായത് ചലനനിയമങ്ങൾ സിസ്റ്റം ആയി എടുക്കുന്ന വേളയിൽ അത് ഏതു വസ്തുവിലാണോ പ്രയോഗിയ്ക്കുന്നത് ആ വസ്തുവിന്റെ രൂപത്തിലുള്ള സമമിതി പ്രസക്തമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന് ക്രമരഹിതമായ രൂപത്തിലുള്ള ഒരു ക്ഷുദ്രഗ്രഹം സ്പേസിലൂടെ കറങ്ങി നീങ്ങുമ്പോൾ ആ ഗ്രഹം എങ്ങോട്ടു തിരിഞ്ഞിരുന്നാലും ഒരുപോലെ കാണില്ല. പക്ഷേ അതിന്റെ ചലനനിയമങ്ങൾ പക്ഷെ ഭ്രമണത്തിന് സമമിതമായിരിയ്ക്കും. അതായത് ആ സിസ്റ്റത്തിന് [[സമമിതി|റൊട്ടേഷണൽ സമമിതി]] ഉണ്ട്. ഈ അവസ്ഥയിൽ അതിന്റെ [[Angular momentum|കോണീയപ്രവേഗം]] (അംഗുലാർ മൊമെന്റം) സംരക്ഷിയ്ക്കപ്പെടുന്നു.
നോതെറുടെ പ്രമേയം ഇത്തരത്തിൽ വളരെ അടിസ്ഥാനപരവും പ്രാധാന്യമേറിയതുമാണ്. ഒരു സിസ്റ്റത്തിലെ സംരക്ഷിയ്ക്കപ്പെടുന്ന പരിമാണങ്ങളും അതിന്റെ സമമിതികളും തമ്മിൽ അഭേദ്യമായ ഒരു ബന്ധം നിലനിൽക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഈ തിയറം തെളിയിയ്ക്കുന്നു.
| |||