"മിശ്രസംഖ്യ" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

No edit summary
റ്റാഗ്: 2017 സ്രോതസ്സ് തിരുത്ത്
No edit summary
റ്റാഗ്: 2017 സ്രോതസ്സ് തിരുത്ത്
വരി 1:
{{prettyurl|Complex number}}
[[ചിത്രം:Complex number illustration.svg|thumb|right|മിശ്ര സംഖ്യകളെമിശ്രസംഖ്യകളെ, ആർഗണ്ട് രേഖാചിത്രത്തിൽ ഒരു സദിശം(വെക്ടർ) രൂപവത്കരിക്കുന്ന ഒരു ജോഡി സംഖ്യകളായി ചിത്രീകരിക്കാം<ref name="mit">{{cite web|url=https://ocw.mit.edu/resources/res-18-008-calculus-revisited-complex-variables-differential-equations-and-linear-algebra-fall-2011/study-materials/MITRES_18_008_supp_notes02.pdf|title=DEVELOPMENT OF THE COMPLEX NUMBERS, MIT Open Courseware }}</ref>]]
[[ഗണിതശാസ്ത്രം|ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ]] [[രേഖീയ സംഖ്യവാസ്തവികസംഖ്യ|രേഖീയ സംഖ്യകളുംവാസ്തവികസംഖ്യകളും]] സാങ്കൽപിക സംഖ്യകളും ചേർന്ന സംഖ്യകളെ '''മിശ്ര സംഖ്യകൾമിശ്രസംഖ്യകൾ''' എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇവയെ '''സമ്മിശ്ര സംഖ്യകൾ''', '''സങ്കീർണ്ണസംഖ്യകൾ''' എന്നിങ്ങനെയും വിളിക്കുന്നു. [[രേഖീയ സംഖ്യവാസ്തവികസംഖ്യ|രേഖീയവാസ്തവിക സംഖ്യകളുടെ]] വിപുലീകരണമാണ് മിശ്രസംഖ്യകൾ. രേഖീയ സംഖ്യയുമായിവാസ്തവികസംഖ്യയുമായി [[സാങ്കൽപിക ഏകകം]] (imaginary unit, {{Math|'''i'''}} എന്ന അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു) അഥവാ അവസ്തവികഘടകംഅവാസ്തവികഘടകം കൂട്ടിച്ചേർത്താൽ മിശ്ര സംഖ്യമിശ്രസംഖ്യ ലഭിക്കും. ഇവയിൽ:
:<math>i^2=-1.\,</math>
ആയിരിക്കും.
എല്ലാ മിശ്ര സംഖ്യകളേയുംമിശ്രസംഖ്യകളേയും {{Math|'''a''' + '''bi'''}} എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം. ഇതിൽ '''a''', '''b''' എന്നീ രേഖീയ സംഖ്യകൾവാസ്തവികസംഖ്യാസംഖ്യകൾ യഥാക്രമം [[രേഖീയ സംഖ്യാവാസ്തവികസംഖ്യാ ഭാഗം]], [[സാങ്കൽപിക സംഖ്യാസാങ്കൽപികസംഖ്യാ ഭാഗം]] എന്നിങ്ങനെ അറിയപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണമായി {{Math|'''4''' + '''7i'''}} എന്ന മിശ്ര സംഖ്യയിൽ 4 രേഖീയ സംഖ്യാവാസ്തവികസംഖ്യാ ഭാഗവും 7 സാങ്കൽപിക സംഖ്യാസാങ്കൽപികസംഖ്യാ ഭാഗവും ആണ്.<ref name=Coxeter>{{cite book |last=Coxeter|first=H.S.M|title=Introduction to Geometry|year=1969|publisher=John Wiley and Sons, Inc |isbn= 978-0471504580| pages = 138}}</ref>
== പ്രചോദനം ==
[[ചിത്രം:Number-systems Malayalam.svg|thumb|right|സംഖ്യാഗണങ്ങളുടെ ഒരു തുടർച്ചയാണ് മിശ്രസംഖ്യകളുടെ ഗണം]]
വരി 17:
==ചരിത്രം==
[[ഗെറൊലമൊ കർഡാനൊ]] എന്ന [[ഇറ്റലി|ഇറ്റാലിയൻ]] ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് മിശ്ര സംഖ്യകൾ എന്ന ആശയം ആദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചത്.<ref>{{cite book|author=Morris Kline|title=A history of mathematical thought, volume 1|page=253}}</ref><ref name="uri">{{cite web|url=http://www.math.uri.edu/~merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf|title=A Short History of Complex Numbers, University of Rhode Island }}</ref> [[ത്രിമാനസമവാക്യം|ത്രിമാനസമവാക്യങ്ങളുടെ]] നിർദ്ധാരണത്തിനിടയിൽ ഋണസംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമായി വന്നു.ഈ സാഹചര്യമാണ് സമ്മിശ്രസംഖ്യകളുടെ കണ്ടുപിടുത്തത്തിന് കാരണമായത്. [[അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം(ബീജഗണിതം)|ബീജഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തത്തിനും]] തുടർന്ന് സമ്മിശ്രസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒന്നോ അതിലധികമോ കൃതിയിലുള്ള ബഹുപദസമവാക്യങ്ങൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യാമെന്ന നിഗമനത്തിലെത്തിച്ചേരാനും ഇത് വഴിയൊരുക്കി.
 
സമ്മിശ്രസംഖ്യകൾക്കുള്ള ബീജീയസംക്രിയകൾ റഫേൽ ബോം‌ബെലി എന്ന ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് ആദ്യമായി നിർവ്വചിച്ചത്.<ref name="uri"/>
 
==തുല്യതയും ക്രമ ബന്ധങ്ങളും==
രണ്ടു മിശ്രസംഖ്യകളുടെ വാസ്തവികസംഖ്യാ ഭാഗവും സാങ്കല്പികസംഖ്യാ ഭാഗവും തുല്യമാണെങ്കിൽ ആ മിശ്രസംഖ്യകൾ തുല്യമാണെന്ന് പറയുന്നു. അതുപോലെ തിരിച്ച് എപ്പോഴൊക്കെ രണ്ടു മിശ്രസംഖ്യകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ അവയയുടെ വാസ്തവികസംഖ്യാ ഭാഗവും സാങ്കല്പികസംഖ്യാ ഭാഗവും തുല്യമായിരിയ്ക്കും. അതായത് :
<math>z_1</math> and <math>z_2</math> തുല്യമാവുന്നത്
<math>\operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2})</math> , <math>\operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2})</math> എന്നീ അവസ്ഥകളിലാണ്. <ref name=Coxeter/>
മിശ്രസംഖ്യകൾ ഒരു പ്രതലത്തിൽ കിടക്കുന്നതുകൊണ്ടു അവ തമ്മിൽ ഏതാണ് ചെറുത് ഏതാണ് വലുത് എന്ന് താരതമ്യപ്പെടുത്താൻ എളുപ്പമല്ല.
 
==അടിസ്ഥാന ക്രിയകൾ ==
=== മിശ്രസംയുഗ്മി (complex conjugate) ===
[[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb| {{mvar|z}} ന്റെയും അതിന്റെ മിശ്രസംയുഗ്മി( <math>\bar{z}</math>) യുടെയും മിശ്രസംഖ്യാപ്രതലത്തിലെ ചിത്രീകരണം]]
{{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} എന്ന മിശ്രസംഖ്യയുടെ മിശ്രസംയുഗ്മിയെ {{math|''x'' − ''yi''}} എന്ന് നിർവചിച്ചിരിയ്ക്കുന്നു. ഇതിനെ <math>\overline{z}</math> എന്നോ അല്ലെങ്കിൽ {{math|''z''*}} എന്നോ രേഖപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്.<ref>ആദ്യത്തെ തരം രേഖപ്പെടുത്തൽ {{cite book|title=Mathematical analysis|author=[[Tom Apostol]]|year=1981|pages=15&ndash;16|publisher=Addison-Wesley}}</ref> ൽ കാണാവുന്നതാണ്.
ജ്യാമിതീയമായി നോക്കിയാൽ, {{mvar|z}} നെ വാസ്തവികസംഖ്യാ രേഖയെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തി പ്രതിഫലിപ്പിച്ചതാണ് <math>\bar{z}</math>. മിശ്രസംയുഗ്മിയുടെ സംയുഗ്മി കണ്ടുപിടിച്ചാൽ അത് ആദ്യത്തെ മിശ്രസംഖ്യ തന്നെയായിരിയ്ക്കും : <math>\bar{\bar{z}}=z</math>.
=== സങ്കലനവും വ്യവകലനവും ===
[[File:Vector Addition.svg|200px|right|thumb|ജ്യാമിതീയമായി ഒരു സാമന്തരികം നിർമ്മിച്ച് രണ്ടു മിശ്രസംഖ്യകളെ തമ്മിൽ കൂട്ടാവുന്നതാണ്.]]
മിശ്രസംഖ്യകളെ തമ്മിൽ കൂട്ടാനും കുറയ്ക്കാനും അവയുടെ വാസ്തവികസംഖ്യാ ഭാഗവും സാങ്കല്പികസംഖ്യാ ഭാഗവും വേറെ വേറെ തന്നെ കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്‌താൽ മതി. അതായത്:
:<math>(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\ </math>
അതുപോലെ കുറയ്ക്കാനായി :
:<math>(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.\ </math>
എന്നാൽ ഈ ക്രിയകൾ ജ്യാമിതീയമായും ചെയ്യാം. അതിനായി മിശ്രസംഖ്യകളെ സദിശങ്ങൾ ആയി കണ്ടാൽ മതി. ''A'', ''B'' എന്നീ രണ്ടു മിശ്രസംഖ്യകൾ കൂട്ടാനായി സദിശങ്ങളുടെ സാമന്തരികസങ്കലന വിദ്യ ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി. ചിത്രം കാണുക.
===ഗുണനവും ഹരണവും===
രണ്ടു മിശ്രസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ താഴെ കാണുന്ന പ്രകാരം ഗുണിയ്ക്കാം:
:<math>(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i.\ </math>
{{mvar|i}} ന്റെ വർഗം −1 ആണ്:
:<math>i^2 = i \times i = -1.\ </math>
രണ്ടു മിശ്രസംഖ്യകളുടെ ഹരണം താഴെക്കാണുന്ന പോലെ നിർവചിച്ചിരിയ്ക്കുന്നു. {{mvar|c}}, {{mvar|d}} എന്നിവയിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും 0 അല്ലെങ്കിൽ :
:<math>\frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i. </math>
===വ്യുൽക്രമം (Reciprocal)===
0 അല്ലാത്ത ഒരു മിശ്രസംഖ്യ ( {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} )യുടെ വ്യുൽക്രമം താഴെക്കാണുന്നതു പ്രകാരം കണ്ടു പിടിയ്ക്കാം:
: <math>\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i.</math>
==ധ്രുവാങ്കരൂപം==
[[File:Complex number illustration modarg.svg|right|thumb|Figure 2: ഫേസും {{mvar|φ}} മാപാങ്കവും {{mvar|r}} ആർഗണ്ട് രേഖാചിത്രത്തിൽ ഒരു ബിന്ദുവിനെ സൂചിപ്പിയ്ക്കാൻ ഉപയോഗിയ്ക്കാം. <math>r(\cos \varphi + i \sin \varphi)</math> or <math>r e^{i\varphi}</math> എന്നത് ഈ ബിന്ദുവിന്റെ ധ്രുവാങ്ക രൂപം ആണ്.]]
"P" എന്ന മിശ്രസംഖ്യാപ്രതലത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിനെ "x", "y" നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ വഴിയല്ലാതെ മറ്റൊരു രീതിയിലും സൂചിപ്പിയ്ക്കാം. പ്രതലത്തിന്റെ ആധാരബിന്ദു (origin) "O" യിൽ നിന്ന് "P" യിലേക്കുള്ള നേർരേഖയുടെ ദൂരവും (മാപാങ്കം) ഈ നേർരേഖ അന്യൂന വാസ്തവികസംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ ചെലുത്തുന്ന കോണളവും (ഫേസ്, അന്യൂന അക്ഷത്തിൽ നിന്നും അപ്രദിക്ഷണദിശയിൽ അളന്നത്) ഉപയോഗിച്ച് "P" എന്ന മിശ്രസംഖ്യയെ രേഖപ്പെടുത്താം. ഇതിനെയാണ് മിശ്രസംഖ്യയുടെ ധ്രുവാങ്കരൂപം എന്നു വിളിയ്ക്കുന്നത്.
{{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} എന്ന മിശ്രസംഖ്യയുടെ മാപാങ്കം
:<math>\textstyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\,</math>
ആണ്.<ref>{{cite book|title=Mathematical analysis|author=[[Tom Apostol]]|year=1981|page=18|publisher=Addison-Wesley}}.</ref>
പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്ത പ്രകാരം ഒരു മിശ്രസംഖ്യയുടെ കേവലവില ആധാരബിന്ദുവിൽ നിന്ന് അതിലേക്കുള്ള അകലമാണ്.
ഒരു മിശ്രസംഖ്യയുടെ ഫേസ് അഥവാ ആർഗ്യുമെന്റ് എന്നത് ആധാരബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ആ സംഖ്യയിലേക്കുള്ള നേർരേഖ അന്യൂന വാസ്തവികസംഖ്യാ അക്ഷവുമായി ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണളവാണ്. ഇത് അന്യൂന അക്ഷത്തിൽ നിന്നും അപ്രദിക്ഷണദിശയിൽ നേരേഖയിലേയ്ക്ക് നീങ്ങുമ്പോഴുള്ള അളവാണ്.
മിശ്രസംഖ്യയുടെ കാർത്തീയരൂപത്തിൽ (<math>x+yi</math>) നിന്നും താഴെക്കാണുന്ന സൂത്രവാക്യം പ്രകാരം ഇത് കണക്കാക്കി എടുക്കാവുന്നതാണ്:<ref>{{Citation
|title=Complex Variables: Theory And Applications
|edition=2nd
|chapter=Chapter 1
|first1=H.S.
|last1=Kasana
|publisher=PHI Learning Pvt. Ltd
|year=2005
|isbn=81-203-2641-5
|page=14
|url=https://books.google.com/?id=rFhiJqkrALIC&pg=PA14}}</ref>
 
:<math>\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) & \text{if } x > 0 \\
\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi & \text{if } x < 0 \text{ and } y \ge 0\\
\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) - \pi & \text{if } x < 0 \text{ and } y < 0\\
\dfrac{\pi}{2} & \text{if } x = 0 \text{ and } y > 0\\
-\dfrac{\pi}{2} & \text{if } x = 0 \text{ and } y < 0\\
\text{indeterminate } & \text{if } x = 0 \text{ and } y = 0.
\end{cases}</math>
 
മുകളിൽ കാണിച്ച പോലെ സാധാരണയായി {{open-closed|−π,π}} എന്ന അന്തരാളത്തിലെ (interval) വിലയാണ് എടുക്കാറ്.
 
ഒരു മിശ്രസംഖ്യയുടെ ധ്രുവാങ്കരൂപം കിട്ടിയാൽ അതിൽ നിന്നും താഴെ കാണുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ കാർത്തീയരൂപം ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാവുന്നതാണ്:
 
:<math> z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).\,</math>
[[ഓയ്ലറുടെ സമവാക്യം]] ഉപയോഗിച്ച് ഇതിനെ ഇങ്ങനെയും എഴുതാം.
:<math>z = r e^{i \varphi}.\,</math>
 
 
== അവലംബം ==
{{reflist}}
"https://ml.wikipedia.org/wiki/മിശ്രസംഖ്യ" എന്ന താളിൽനിന്ന് ശേഖരിച്ചത്