"സമവാക്യം (ഗണിതശാസ്ത്രം)" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
Content deleted Content added
ക്രമീകരണം |
വിപുലനം |
||
വരി 3:
ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍, രണ്ട് [[വ്യഞ്ജകം (ഗണിതം)|വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍]] തുല്യങ്ങളാണെന്ന് കാണിക്കുന്ന പ്രതീകാത്മമകപ്രസ്താവനയാണ് '''സമവാക്യം''' അഥവാ '''സമീകരണം''' (Equation) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.
സമീകരണം സംഖ്യകള്‍ മാത്രമുള്ളതോ, അക്ഷരങ്ങള്‍ അടങ്ങിയ ബീജീയസമതയോ ആവാം. ഒരു സമവാക്യത്തില്‍ തുല്യത കാണിക്കുന്നതിനായി, = എന്ന സമചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് 2 + 3 = 5 എന്നത് സാംഖ്യികസമതയാണ് (Numerical Equation); x(x − 1) = x<sup>2</sup> − x എന്നത് ഒരു ബീജീയസമതയും. വാസ്തവികസംഖ്യാഗണത്തിലെ ഏതൊരംഗത്തിനും ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്. അതുകൊണ്ട്, ഈ സമവാക്യം ഒരു [[സദാസത്യസമകം]] (Identity) കൂടിയാണ്. എന്നാല്‍, x<sup>2</sup> − x = 0 എന്ന സമത പരിഗണിച്ചാല്‍, 0,1 എന്നീ രണ്ട് വിലകള്‍ ഒഴിച്ച്, മറ്റൊരു സംഖ്യക്കും ഈ സത്യമല്ല എന്നു കാണാം. അതിനാല്‍ ഇതൊരു സദാസത്യസമകം അല്ല; ഒരു സമവാക്യം മാത്രമാണ്.ഒരു സമവക്യത്തില്‍ ഒന്നിലധികം ചരങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവാം.
==സവിശേഷതകള്‍==
[[ബീജഗണിതം|ബീജഗണിതത്തില്‍]] ഒരു സമവാക്യം സദാസത്യമാണെന്ന് പറയണമെങ്കില്‍
#ഏത് അളവും സമചിഹ്നത്തിന് ഇരുവശവും [[സങ്കലനം|കൂട്ടിയാലോ]],
#ഏത് അളവും സമചിഹ്നത്തിന് ഇരുവശത്തുനിന്നും [[വ്യവകലനം|കുറച്ചാലോ]]
#ഏത് അളവുകൊണ്ടും സമത്തിന് ഇരുവശത്തേയും [[ഗുണനം|ഗുണിച്ചാലോ]]
#പൂജ്യമല്ലാത്ത എത് അളവുകൊണ്ടും സമത്തിന് ഇരുവശത്തേയും [[ഹരണം|ഹരിച്ചാലോ]]
#പൊതുവേ,
മേല്‍ക്കാണിച്ചിരിക്കുന്ന, 1 മുതല്‍ 4 വരെയുള്ള സവിശേഷതകളുള്ള ഒരു സമത, അതിന്റെ മണ്ഡലത്തിലെ ഒരു [[സര്‍വ്വസമത|സര്‍വ്വസമബന്ധമാണ്]].
അപ്രകാരം എല്ലാ സവിശേഷതകളും ഉള്ള ഒരു മണ്ഡലം, വാസ്തവികസംഖ്യാഗണമാണ്. എന്നാല്‍, എണ്ണല്‍സംഖ്യാഗണമോ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണമോ എല്ലാ സമവാക്യസവിശേഷതകളും പാലിക്കുന്നില്ല.
== നിര്‍ദ്ധാരണം ==
ഒരു സമതയിലെ ചരങ്ങളുടെ വില കണ്ടെത്തുന്ന ഗണിതക്രീയയാണ് '''സമവാക്യനിര്‍ദ്ധാരണം''' എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. ആ വിലകളെ, സമതയുടെ '''മൂല്യങ്ങള്‍''' (Roots) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഒരേ മൂല്യങ്ങള്‍ ഉള്ള സമതകള്‍ തുല്യസമതകളാണ് (Equivalent Equations). x<sup>2</sup> = 3x - 2 എന്ന സമതയുടേയും x<sup>2</sup> + 2 = 3x എന്ന സമതയുടെയും രണ്ടു മൂല്യങ്ങളും (അതായത്, 1,2 എന്നീ സംഖ്യകള്‍) തുല്യങ്ങളാണ്. അതുകൊണ്ട് അവ തുല്യസമതകളാണ്.
ഒരു സമതയെ അതിന്റെ തുല്യസമതകള്‍ കൊണ്ട് തുടര്‍ച്ചയായി മാറ്റി ലഘൂകരിച്ചു കൊണ്ട് നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നത്. സമതകള്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിന് സാധാരണ താഴെക്കാണുന്ന ഉപായങ്ങള്‍ പ്രയോഗിക്കുന്നു:
# തുല്യസമതകള്‍കൊണ്ടുള്ള പുന:സ്ഥാപനം. (x+1)<sup>2</sup> = 2x + 5 എന്ന സമതയെ x<sup>2</sup>+ 2x +1 = 2x + 5 എന്ന് മാറ്റാം.
# സമതയിലെ പദങ്ങള്‍ ഇരുവശത്തേക്കും ക്രമീകരിച്ചുകൊണ്ട്. x<sup>2</sup>+ 2x +1 = 2x + 5 എന്നത്, x<sup>2</sup>+ 2x +1 - 2x - 5 = 0 എന്നെഴുതാം. ഇതില്‍ നിന്ന് x<sup>2</sup> - 4 = 0 എന്ന സമത ലഭിക്കുന്നു. ഇത് ആദ്യസമതയുടെ തുല്യ സമതയാണ്.
# സമതയുടെ ഇരുവശത്തും ഒരേ സംഖ്യകൊണ്ടോ, ഒരേ വ്യഞ്ജകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്തുകൊണ്ടോ; എന്നാല്‍ ഇപ്രകാരം ചെയ്യുമ്പോള്‍, വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍, പൂജ്യമായിത്തീരാന്‍ സാധിക്കുന്നവയായിരിക്കരുത്; അത് പുതിയ തുല്യസമതയെ സൃഷ്ടിക്കുകയില്ല.
{{അപൂര്‍ണ്ണം}}
| |||