"ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നം" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
Content deleted Content added
No edit summary |
No edit summary |
||
വരി 9:
==നിർദ്ധാരണരീതി==
===ഒന്നാം ഘട്ടം (ഗുരുത്വബലം കണക്കാക്കുന്നതു്)===
[[File:Two-body Jacobi coordinates.JPG|thumb|300px|ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നത്തിലെ ജക്കോബി നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ; രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെ പിണ്ഡങ്ങൾ m<sub>1</sub>, m<sub>2</sub> എന്നിവയും പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നു് അവയിലേക്കുള്ള ദൂരം x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> എന്നിവയും <math>M = m_1+m_2 \ </math> ആണെങ്കിൽ, ജക്കോബിയൻ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ <math>\boldsymbol{R}=\frac {m_1}{M} \boldsymbol{x}_1 + \frac {m_2}{M} \boldsymbol{x}_2 </math>, <math>\boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 </math> എന്നിവയായിരിക്കും.<ref name=Betounes>{{cite book |title=Differential Equations |author=David Betounes |url=http://books.google.com/?id=oNvFAzQXBhsC&pg=PA58 |isbn=0-387-95140-7 |page=58; Figure 2.15 |year=2001 |publisher=Springer}}</ref>]]
വരി 29:
(ഇതിൽ '''F'''<sub>12</sub> എന്നതു് ഒന്നാമത്തെ പിണ്ഡത്തിന്മേൽ രണ്ടാമത്തെ പിണ്ഡം ചെലുത്തുന്നതും '''F'''<sub>21</sub> എന്നതു് തിരിച്ച് രണ്ടാമത്തെ പിണ്ഡത്തിന്മേൽ ഒന്നാമത്തെ പിണ്ഡം ചെലുത്തുന്നതുമായ ബലങ്ങളാണു്.
ഈ സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ടും കൂടി കൂട്ടിയാൽ പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിന്റെ സ്ഥാനവും (position of barycenter) ആദ്യത്തേതിൽനിന്നും രണ്ടാമത്തേതു കുറച്ചാൽ പിണ്ഡങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള നൈമിഷികസ്ഥാനാന്തരണവും ('''r''' = '''x'''<sub>1</sub> − '''x'''<sub>2</sub>) (displacement vector) രണ്ടു സ്വതന്ത്രസമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ലഭിയ്ക്കും.
===രണ്ടാം ഘട്ടം: പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്===
മുകളിലെ സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ടും സങ്കലനം ചെയ്താൽ ഇങ്ങനെ ലഭിയ്ക്കും:
:<math>
m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{x}}_2 = (m_1 + m_2)\ddot{\mathbf{R}} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0
</math>
ന്യൂട്ടന്റെ മൂന്നാം ചലനനിയമപ്രകാരം ബലപ്രയോഗവും പ്രതിപ്രയോഗവും തുല്യമായിരിക്കും. അതിനാൽ, '''F'''<sub>12</sub> = −'''F'''<sub>21</sub>. (ഇതിൽ <math>
\mathbf{R}
</math> എന്നതു് പിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിന്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.)
മുകളിലെ സമവാക്യം \mathbf{R}</math>നെ കർത്താവാക്കി (ഒറ്റപ്പെടുത്തി)മാറ്റിയെഴുതാം.
:<math>
\ddot{\mathbf{R}} \equiv \frac{m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2}}{m_{1} + m_{2}}
</math>
ഫലമായി ലഭിക്കുന്നതു്: The resulting equation: :<math>
\ddot{\mathbf{R}} = 0
</math>
ഇതിന്റെ അർത്ഥം, പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിന്റെതന്നെ പ്രവേഗം ('''V''' = ''d'''''R'''/''dt'') ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയായിരിക്കുമെന്നാണു്. മാത്രമല്ല, ഗതിമാത്രാസംരക്ഷണനിയമം (conservation of momentum)അനുസരിച്ച് ഇവയുടെ മൊത്തം ഗതിമാത്രയും(ആക്കം)(momentum) ''m''<sub>1</sub> '''v'''<sub>1</sub> + ''m''<sub>2</sub> '''v'''<sub>2</sub> ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയായിരിക്കും. അതിനാൽ, രണ്ടു പിണ്ഡങ്ങളുടേയും പ്രാരംഭസ്ഥാനങ്ങളും പ്രാരംഭപ്രവേഗങ്ങളും അറിഞ്ഞാൽ ഏതു സമയാംശത്തിലേയും അവയുടെ പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രസ്ഥാനവും അറിയാം.
| |||