"ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നം" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
Content deleted Content added
No edit summary |
No edit summary |
||
വരി 11:
===ഒന്നാം ഘട്ടം===
[[File:Two-body Jacobi coordinates.JPG|thumb|300px|ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നത്തിലെ ജക്കോബി നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ; രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെ പിണ്ഡങ്ങൾ m<sub>1</sub>, m<sub>2</sub> എന്നിവയും പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നു് അവയിലേക്കുള്ള ദൂരം x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> എന്നിവയും <math>M = m_1+m_2 \ </math> ആണെങ്കിൽ, ജക്കോബിയൻ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ <math>\boldsymbol{R}=\frac {m_1}{M} \boldsymbol{x}_1 + \frac {m_2}{M} \boldsymbol{x}_2 </math>, <math>\boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 </math> എന്നിവയായിരിക്കും.<ref name=Betounes>{{cite book |title=Differential Equations |author=David Betounes |url=http://books.google.com/?id=oNvFAzQXBhsC&pg=PA58 |isbn=0-387-95140-7 |page=58; Figure 2.15 |year=2001 |publisher=Springer}}</ref>]]
'''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub> ഇവ രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെ സ്ഥാനങ്ങളും
'm''<sub>1</sub>, ''m''<sub>2</sub> എന്നിവ അവയുടെ [[പിണ്ഡം|പിണ്ഡങ്ങളും]] ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നത്തിന്റെ കാതൽ, തന്നിട്ടുള്ള ഒരു സമയത്തു് (''t''), ഈ രണ്ടു വസ്തുക്കളുടേയും (എപ്പോഴും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന) സ്ഥാനങ്ങൾ ('''x'''<sub>1</sub>(''t'') and '''x'''<sub>2</sub>(''t'')) എവിടെയൊക്കെ എന്നു കൃത്യമായി കണ്ടുപിടിക്കുക എന്നതാണു്. ഫലത്തിൽ ഇതിനർത്ഥം, എല്ലാ സമയാംശങ്ങൾക്കുമുള്ള ഈ സ്ഥാനമൂല്യങ്ങൾ, അതായതു് ആ വസ്തുക്കളുടെ [[ഭ്രമണപഥങ്ങൾ]] കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയും എന്നതാണു്.
ഇതിനാവശ്യമായി നമുക്കാവശ്യമുള്ള ആദ്യവിവരങ്ങൾ അവയുടെ പ്രാരംഭസ്ഥാനങ്ങളും('''x'''<sub>1</sub>(''t'' = 0) and '''x'''<sub>2</sub>(''t'' = 0)) പ്രാരംഭപ്രവേഗങ്ങളും (<sub>1</sub>(''t'' = 0) and '''v'''<sub>2</sub>(''t'' = 0)) ആണു്.
ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം ചലനനിയമം അനുസരിച്ച്, ഈ രണ്ടു പിണ്ഡങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഗുരുത്വാകർഷണബലങ്ങൾ ഇങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കാം:
:<math>
\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1} \quad \quad \quad (\mathrm{Equation} \ 1)
</math>
:<math>
\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2} \quad \quad \quad (\mathrm{Equation} \ 2)
</math>
(ഇതിൽ '''F'''<sub>12</sub> എന്നതു് ഒന്നാമത്തെ പിണ്ഡത്തിന്മേൽ രണ്ടാമത്തെ പിണ്ഡം ചെലുത്തുന്നതും '''F'''<sub>21</sub> എന്നതു് തിരിച്ച് രണ്ടാമത്തെ പിണ്ഡത്തിന്മേൽ ഒന്നാമത്തെ പിണ്ഡം ചെലുത്തുന്നതുമായ ബലങ്ങളാണു്.
ഈ സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ടും കൂടി കൂട്ടിയാൽ പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിന്റെ സ്ഥാനവും (position of barycenter) ആദ്യത്തേതിൽനിന്നും രണ്ടാമത്തേതു കുറച്ചാൽ പിണ്ഡങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള നൈമിഷികസ്ഥാനാന്തരണവും ('''r''' = '''x'''<sub>1</sub> − '''x'''<sub>2</sub>) (displacement vector) രണ്ടു സ്വതന്ത്രസമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ലഭിയ്ക്കും. ഈ സമവാക്യങ്ങൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്താൽ നമുക്കാവശ്യമുള്ള ഉത്തരമായ ഭ്രമണപഥനിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങളും ലഭിയ്ക്കും.
==അവലംബം==
| |||