"പരവലയം" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

330 ബൈറ്റുകൾ കൂട്ടിച്ചേർത്തിരിക്കുന്നു ,  7 വർഷം മുമ്പ്
തിരുത്തലിനു സംഗ്രഹമില്ല
(ചെ.) (Viswaprabha എന്ന ഉപയോക്താവ് പരാബൊള (ഗണിതം) എന്ന താൾ പരവലയം എന്നാക്കി മാറ്റിയിരിക്കുന്നു)
[[ചിത്രം:Parabola showing focus and reflective property.png|196px|thumb|right|പ്രതിഫലത,നിയതരേഖ(പച്ച), നിയതരേഖയേയും ഫോകസിനേയും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വരകൾ(നീല) എന്നിവ കാണിക്കുന്ന ഒരു ആരേഖം]]
 
[[ദ്വിമാനതലം|ദ്വിമാനതലത്തിൽ]] രചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരുതരം [[വക്രം|വക്രമാണ്]] '''പരവലയം''' അഥവാ '''പരാബൊള'''. ഒരു സമതലത്തിൽ ശയിക്കുന്ന ഒരു രേഖയും , ആ രേഖയിലല്ലാത്ത ഒരു ബിന്ദുവും ഉണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ; ആ രേഖയിൽ നിന്നും (നിയതരേഖ; Directrix) ബിന്ദുവിൽ നിന്നും ( കേന്ദ്രം; focus) ഉള്ള അകലം തുല്യമാകത്തക്കവിധം സഞ്ചരിക്കുന്ന മറ്റൊരു ബിന്ദുവിന്റെ സഞ്ചാരപഥത്തെ ( Locus) ആണ് പരവലയം അല്ലെങ്കിൽ പരാബൊള (Parabola) എന്നു പറയുന്നത്.
 
ഒരു നേർവൃത്തസ്തൂപികയെ അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു [[പാർശ്വരേഖ|പാർശ്വരേഖയ്ക്]] സമാന്തരമായി ഒരു സമതലം ഛേദിക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ദ്വിമാനവക്രരൂപവും പരാബോളയാണ്പരവലയമാണു്. [[വൃത്തസ്തൂപിക|വൃത്തസ്തൂപികയുടെ]] ശീർഷവും (Vertex) അതിന്റ [[ആധാരവൃത്തം|ആധാരവൃത്തത്തിലെ]] ഏതെങ്കിലും ഒരു [[ബിന്ദു|ബിന്ദുവും]] ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഋജുരേഖയെയാണ് [[പാർശ്വരേഖ]] എന്നു പറയുന്നത്. വൃത്തസ്തൂപികയെ ഛേദിക്കുന്ന തലത്തിന്, അതിന്റെ അക്ഷവുമായുണ്ടാകുന്ന ചരിവ് അനുസരിച്ച്, പല ദ്വിമാനവക്രങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു. [[വൃത്തം]], [[ദീർഘവൃത്തം]], പരാബൊളപരവലയം, [[ഹൈപ്പർബൊളഅതിവലയം]] എന്നിവയാണവ. എന്നാൽ, ഛേദതലം, പ്രസ്തുത നേർവൃത്തസ്തൂപികയെ ഛേദിക്കാതെ അതിന്റെ വക്രപ്രതലം സ്പർശിക്കുക മാത്രം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു ഋജുരേഖയാണ് ലഭിക്കുന്നത്. ഇങ്ങനെ നേർവൃത്തസ്തൂപിക ഛേദിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന വക്രങ്ങളെ പൊതുവെ '''വൃത്തസ്തുപികാവക്രങ്ങൾവൃത്തസ്തൂപികാവക്രങ്ങൾ''' (Conics) എന്നു പറയുന്നു.
 
[[ഭൗതികശാസ്ത്രം|ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും]] [[ജ്യോതിശാസ്ത്രം|ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലും]] [[Engineering|സാങ്കേതികവിദ്യാരംഗങ്ങളിലും]], മറ്റനവധി ശാസ്ത്രമേഖലകളിലും പരാബൊളക്ക്പരവലയങ്ങൾക്കു് വളരെ പ്രാധാന്യമുണ്ട്.
 
ഒരു ഗോളത്തിന്റെ ഗുരുത്വാകർഷണത്തിനു വിധേയമായി, ക്ഷേപിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ (എറിയപ്പെടുന്ന ഒരു [[ക്രിക്കറ്റ്|ക്രിക്കറ്റു]]പന്ത്, തോക്കിൽ നിന്നു പായുന്ന ഒരു വെടിയുണ്ട മുതലായവ) സഞ്ചാരപഥം പരാബോളയാണ്പരവലയാകൃതിയിലുള്ളവയാണ്.
 
== വിശ്ലേഷണജ്യാമിതീസമവാക്യങ്ങൾ ==
 
[[ചതുരനിർദ്ദേശാങ്കവ്യവസ്ഥ]]യിൽ <math>y\,\!</math> അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായതും ശീർഷം <math>(h, k)\,\!</math>ഉം ഫോകസ് <math>(h, k + p)\,\!</math>ഉം നിയതരേഖ <math>y = k - p\,\!</math>ഉം <math>p\,\!</math> ദൂരവും ഉള്ള പരാബോളയുടെപരവലയത്തിന്റെ സമവാക്യം
:<math>(x - h)^2 = 4p(y - k) \,</math> ആണ്.
മറ്റൊരു തരത്തിൽ x-അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായ പരാബോളയുടെപരവലയത്തിന്റെ സമവാക്യം
:<math>(y - k)^2 = 4p(x - h) \,</math> ഇപ്രകാരമാണ്‌
പൊതുസമവാക്യം
== ഇതര ജ്യാമിതീയ നിർ‌വചനങ്ങൾ ==
[[ചിത്രം:Conic sections 2.png|thumb|right|300px|നാലുതരം വൃത്തസ്തുപികാവക്രങ്ങൾ]]
വൃത്തസ്തുപികാവക്രങ്ങളിൽവൃത്തസ്തൂപികാവക്രങ്ങളിൽ, ഏതു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും, കേന്ദ്രത്തിലേക്കും, നിയതരേഖയിലേക്കും ഉള്ള ദൂരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തെ വക്രത്തിന്റെ '''ഉത്കേന്ദ്രതഉൽകേന്ദ്രത''' (Eccentricity) എന്നു വിളിക്കുന്നു. അതായത്, വക്രത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും കേന്ദ്രത്തിലേക്കുള്ള അകലം r എന്നും, അതിൽ നിന്നും നിയതരേഖയിലേക്കുള്ള അകലം s എന്നുമിരിക്കട്ടെ, എങ്കിൽ -
 
: ഉത്കേന്ദ്രതഉൽകേന്ദ്രത, <math> e = \frac{r}{s}\,</math>
 
പരാബൊളയുടെപരവലയത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, മേൽപ്പറഞ്ഞ അകലങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ, ഉത്‌കേന്ദ്രതഉൽകേന്ദ്രത '''ഒന്ന്''' ആയിരിക്കും. ഉത്കേന്ദ്രത ഒന്നിൽക്കുറവാണെങ്കിൽ അതു ദീർഘവൃത്തവും (ellipse) , ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ അത് ഹൈപ്പർബൊളയുംഅതിവലയവും ആയിരിക്കും. ഉത്കേന്ദ്രത പൂജ്യം ആയ വക്രമാണ് [[വൃത്തം]].
 
ദീർഘവൃത്തങ്ങളുടെ ശ്രേണിയുടെ [[സീമ (ഗണിതം)|സീമ]] എന്ന നിലയിൽ പരാബോളയെപരവലയത്തെ പരിഗണിക്കാം.ഈ ദീർഘവൃത്തങ്ങളുടെ ഒരു [[ഫോകസ്ഫോക്കസ്]] ഉറപ്പിച്ചും അടുത്ത ഫോകസ്ഫോക്കസ് ഒരേ ദിശയിൽ തന്നെ അനിയന്ത്രിതമായി നീങ്ങാനും അനുവദിക്കുന്നു.ഇത്തരത്തിൽ പരാബോളയെപരവലയത്തെ ഒരു ഫോകസ്ഫോക്കസ് അനന്തതയിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു [[ദീർഘവൃത്തം|ദീർഘവൃത്തമായി]] പരിഗണിക്കാം.
 
പരബോളക്ക്പരവലയത്തിനു് പ്രതിഫലന പ്രതിസമതയുള്ളപ്രതിഫലനപ്രതിസമതയുള്ള ഒരു [[അക്ഷം]] ഉണ്ട്. ഈ [[അക്ഷം]] പരാബോളയുടെഅതിന്റെ [[ഫോക്കസ്|ഫോകസിലൂടെഫോക്കസിലൂടെ]] കടന്നുപോകുന്നു.നിയതരേഖക്ക് ഇത് [[ലംബം|ലംബവും]] ആണ്. ഈ അക്ഷത്തിന്റേയും പരാബോളയുടേയുംപരവലയത്തിന്റേയും സംഗമബിന്ദുവാണ് പരാബോളയുടെപരവലയത്തിന്റെ [[ശീർഷം]].
 
== സമവാക്യങ്ങൾ ==
ശീർഷം (h, k)ഉം ഫോകസുംഫോക്കസും ശീർഷവും തമ്മിലുള്ള ദൂരം pഉം ആയ പരാബോളയുടെപരവലയത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളാണ് താഴേതാഴെ പ്രസ്താവിക്കുന്നത്.
 
=== കാർടീഷ്യൻ ===
=== കാർട്ടീഷ്യൻ ===
 
==== ലംബഅക്ഷത്തിലുള്ള പ്രതിസമത ====
:<math>(x - h)^2 = 4p(y - k) \,</math>
 
:<math>x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k \, </math>'''
====പരവലയത്തിന്റെ സാമാന്യരൂപം====
==== പൊതുവായ പരാബോള ====
പരാബോളയുടെ പൊതുരൂപം
:<math>(Ax+By)^2 + Cx + Dy + E = 0 \,</math> ആണ്
കോണികത്തിന്റെ പൊതുസമവാക്യത്തിൽ നിന്നും നിർ‌വചിച്ചിരിക്കുന്ന പരാബോളയുടെപരവലയത്തിന്റെ സമവാക്യം <math>B^2=4AC</math> ആണ്‌.
=== നാഭിലംബം,അർദ്ധനാഭിലംബം,ധ്രുവീയ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ ===
ധ്രുവീയ നിർദ്ദേശാങ്കത്തിൽ(polar co-ordinates) ഫോകസ് മൂലബിന്ദുവും നിയതരേഖ അക്ഷത്തിനു സമാന്തരവും ആയ പരാബോളയുടെപരവലയത്തിന്റെ സമവാക്യം
: <math>r (1 + \cos \theta) = l \,</math> ആണ്.
l അർദ്ധനാഭികേന്ദ്രംഅർദ്ധനാഭീകേന്ദ്രം(semi-latus rectum) ,അതായത് ഫോകസിൽഫോക്കസിൽ നിന്നും പരാബോളയിലേക്കുള്ളപരവലയത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം ആണ്.നാഭികേന്ദ്രംനാഭീകേന്ദ്രം(latus rectum) ഫോകസിലൂടെഫോക്കസിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന അക്ഷത്തിനു ലംബമായ ഞാൺ ആണ്.ഇതിന്റെ നീളം 4l ആണ്‌.
 
== ഫോകസിന്റെഫോക്കസ്സിന്റെ അനുമാനം ==
[[ചിത്രം:Parabola with focus and directrix.svg|right|thumb|400px|നിയതരേഖ(L),ഫോകസ്(F) എന്നിവ കാണിക്കുന്ന ഒരു പരാബോളിക്പരവലയവക്രം വക്രം.തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദു P<sub>n</sub>ൽ നിന്നും ഫോകസിലേക്കുള്ളഫോക്കസിലേക്കുള്ള ദൂരം P<sub>n</sub> ൽ നിന്നും നിയതരേഖയിലുള്ള Q<sub>n</sub>ലേക്കുള്ള ദൂരത്തിനു തുല്യമാണ്.]]
 
[[ചിത്രം:Parabola with focus and arbitrary line.svg|right|thumb|400px|ഒരു രേഖ(L),ഫോകസ്ഫോക്കസ്(F),ശീർഷം(V) എന്നിവ ചിത്രീകരിക്കുന്ന പരാബോളിക് വക്രംപരവലയവക്രം . പ്രതിസമതാ അക്ഷത്തിനു ലംബവും ശീർഷത്തിൽ നിന്നും പരാബോളയുടെപരവലയത്തിന്റെ ഫോകസിന്ഫോക്കസ്സിന് വിപരീതവും ആയ നിയമബന്ധിതമല്ലാത്ത ഒരു രേഖയാണ് L.ഏതൊരു രേഖയുടേയും നീളം F - P<sub>n</sub> - Q<sub>n</sub> തുല്യമായിരിക്കും.ഇതുവഴി ഒരു ഫോകസ്ഫോക്കസ് അനന്തത്തിലായ ഒരു ദീർഘവൃത്തമാണ് പരാബോളപരവലയം എന്ന് പറയാം.]]
 
പ്രതിസമത അക്ഷം y-അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായതും ശീർഷം (0,0) ആയതും ആയ ഒരു പരാബോളയുടെപരവലയത്തിന്റെ സമവാക്യം
:<math> y = a x^2, \qquad \qquad \qquad (1) </math>
ആണ്.(0,f)എന്ന ബിന്ദു പരാബോളയുടെപരവലയത്തിന്റെ ഫോകസ്ഫോക്കസ് ആണ്.പരാബോളയിലുള്ള പരവലയത്തിലുള്ള ഏതൊരു ബിന്ദുവും ഫോകസിൽഫോക്കസിൽ നിന്നും പ്രതിസമതാ അക്ഷത്തിനു ലംബമായ ഒരു രേഖയിൽ നിന്നും(ലീനിയാ നിയതരേഖ)തുല്യ അകലത്തിലായിരിക്കും.ശീർഷം ഇത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ബിന്ദുവായതിനാൽ ലീനിയ നിയതരേഖ എന്ന ബിന്ദുവിലൂടേയും കടന്നുപോകുന്നു.അതായത് ഏതൊരു ബിന്ദു P=(x,y)ഉം (0,f)ൽ നിന്നും (x,-f)ൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലായിരിക്കും.ഇത്തരമൊരു സവിശേഷതയുള്ള ഫോകസിന്റെ വിലയാണ് കണ്ടുപിടിക്കുന്നത്.
 
Fഎന്നത് ഫോകസിനേയും Q,(x,-f)എന്ന ബിന്ദുവിനേയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. FP,QP എന്നിവയുടെ നീളം തുല്യമാണ്.
"https://ml.wikipedia.org/wiki/പ്രത്യേകം:മൊബൈൽവ്യത്യാസം/1742363" എന്ന താളിൽനിന്ന് ശേഖരിച്ചത്