|
[[വ്യാസം]] ഉപയോഗിച്ച് വൃത്തപരിധി കണ്ടെത്തുവാനായി അനന്തശ്രേണി വികസിപ്പിച്ചു.ഇതിനു വഴിവെച്ച ചില ഘടകങ്ങൾ ഇവയാണ് വൃത്തപരിധിക്കും വ്യാസത്തിനും പൊതുപരിമാണമില്ല എന്ന വസ്തുത പൂർണ്ണമൂല്യം കണ്ടെത്താൻ സാധിക്കില്ല എന്നകണ്ടെത്തലിനു വഴിയൊരുക്കി.
കേരളത്തിലെ ജ്യോതിശാസ്ത്ര-ഗണിത പഠനങ്ങൾ തുടങ്ങിവെച്ചത് സംഗമഗ്രാമത്തിലെ [[സംഗമഗ്രാമമാധവൻ|മാധവൻ]] ആണ്. [[വടശ്ശേരി_പരമേശ്വരൻ_നമ്പൂതിരി|പരമേശ്വരൻ]], [[നീലകണ്ഠ_സോമയാജി|നീലകണ്ഠ സോമയാജി]], [[ജ്യേഷ്ഠദേവൻ|ജ്യേഷ്ഠദേവൻ]], അച്യുത പിഷാരടി, [[മേല്പത്തൂർ നാരായണ ഭട്ടതിരി]], അച്യുത പണിക്കർ എന്നിവരാണ് ആ പരമ്പരയിലെ മറ്റു പ്രധാനികൾ. പതിനാലും പതിനാറും ശതാബ്ദത്തിനിടയിൽ അവർ പല കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളും നടത്തി. [[മേല്പത്തൂർ നാരായണ ഭട്ടതിരി]] (1559-1632) ഈ സരണിയിലെ അവസാന കണ്ണിയായി കരുതുന്നു{{തെളിവ്}}. ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾക്കു പരിഹാരം കണ്ടെതത്താനായി അവർ സ്വന്തമായി പല ഗണിതതന്ത്രങ്ങളും അവിഷക്കരിച്ചിരുന്നു. അവരുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കണ്ടുപിടുത്തം (series expansion for trigonometric functions) നീലകണ്ഠൻ സംസ്കൃതത്തിൽ എഴുതിയ '''തന്ത്രസംഗ്രഹ''' എന്ന പുസ്തകത്തിൽ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. അതിന്റെ വ്യാഖ്യാനമായി ഒരു അജ്ഞാത കർത്താവ് എഴുതിയ '''തന്ത്രസംഗ്രഹ-വാക്യ''' എന്ന പുസ്തകത്തിലും ഇത് വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇതിലെ തത്ത്വങ്ങൾ തെളിവില്ലാതെയാണ് ആണ് എഴുതിയിരുന്നത്. എന്നാൽ ഒരു ശതാബ്ദത്തിനു ശേഷം ജ്യേഷ്ഠദേവൻ മലയാളത്തിൽ രചിച്ച '''[[യുക്തിഭാഷ]]''' (c.1500-c.1610) എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ അവയുടെ (series for sine, cosine, and inverse tangent) തെളിവുകൾ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്. അതുപോലെ തന്ത്രസംഗ്രഹത്തിന്റെ ഒരു വ്യാഖ്യാനത്തിലും തെളിവുകൾ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട് <ref name=roy>Roy, Ranjan. 1990. "Discovery of the Series Formula for <math> \pi </math> by Leibniz, Gregory, and Nilakantha." ''Mathematics Magazine'' (Mathematical Association of America) 63(5):291-306.</ref> യുറോപ്പിൽ കലനം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനു രണ്ടു ശതാബ്ദങ്ങൾക്കു മുൻപേ അവർ ജ്യാമിതീയശ്രേണികൾ കൂടാതുള്ള അനന്തശ്രേണികൾക്ക് (power series) ആദ്യമായി രുപംനല്കി <ref>{{Harv|Stillwell|2004|p=173}}</ref>. എന്നാൽ അവർ അവകലനത്തിനോ സമാകലത്തിനോ രുപംനല്കിയില്ല. അവരുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ കേരളത്തിനു വെളിയിൽ അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു എന്നതിനു തെളിവുകൾ ഇല്ല <ref>{{Harv|Bressoud|2002|p=12}} Quote: "There is no evidence that the Indian work on series was known beyond India, or even outside Kerala, until the nineteenth century. Gold and Pingree assert [4] that by the time these series were rediscovered in Europe, they had, for all practical purposes, been lost to India. The expansions of the sine, cosine, and arc tangent had been passed down through several generations of disciples, but they remained sterile observations for which no one could find much use."</ref><ref>{{Harvnb|Plofker|2001|p=293}} Quote: "It is not unusual to encounter in discussions of Indian mathematics such assertions as that "the concept of differentiation was understood [in India] from the time of Manjula (... in the 10th century)" [Joseph 1991, 300], or that "we may consider Madhava to have been the founder of mathematical analysis" (Joseph 1991, 293), or that Bhaskara II may claim to be "the precursor of Newton and Leibniz in the discovery of the principle of the differential calculus" (Bag 1979, 294). ... The points of resemblance, particularly between early European calculus and the Keralese work on power series, have even inspired suggestions of a possible transmission of mathematical ideas from the Malabar coast in or after the 15th century to the Latin scholarly world (e.g., in (Bag 1979, 285)). ... It should be borne in mind, however, that such an emphasis on the similarity of Sanskrit (or Malayalam) and Latin mathematics risks diminishing our ability fully to see and comprehend the former. To speak of the Indian "discovery of the principle of the differential calculus" somewhat obscures the fact that Indian techniques for expressing changes in the Sine by means of the Cosine or vice versa, as in the examples we have seen, remained within that specific trigonometric context. The differential "principle" was not generalized to arbitrary functions—in fact, the explicit notion of an arbitrary function, not to mention that of its derivative or an algorithm for taking the derivative, is irrelevant here"</ref><ref>{{Harvnb|Pingree|1992|p=562}} Quote:"One example I can give you relates to the Indian Mādhava's demonstration, in about 1400 A.D., of the infinite power series of trigonometrical functions using geometrical and algebraic arguments. When this was first described in English by Charles Whish, in the 1830s, it was heralded as the Indians' discovery of the calculus. This claim and Mādhava's achievements were ignored by Western historians, presumably at first because they could not admit that an Indian discovered the calculus, but later because no one read anymore the ''Transactions of the Royal Asiatic Society'', in which Whish's article was published. The matter resurfaced in the 1950s, and now we have the Sanskrit texts properly edited, and we understand the clever way that Mādhava derived the series ''without'' the calculus; but many historians still find it impossible to conceive of the problem and its solution in terms of anything other than the calculus and proclaim that the calculus is what Mādhava found. In this case the elegance and brilliance of Mādhava's mathematics are being distorted as they are buried under the current mathematical solution to a problem to which he discovered an alternate and powerful solution."</ref><ref>{{Harvnb|Katz|1995|pp=173–174}} Quote:"How close did Islamic and Indian scholars come to inventing the calculus? Islamic scholars nearly developed a general formula for finding integrals of polynomials by A.D. 1000—and evidently could find such a formula for any polynomial in which they were interested. But, it appears, they were not interested in any polynomial of degree higher than four, at least in any of the material that has come down to us. Indian scholars, on the other hand, were by 1600 able to use ibn al-Haytham's sum formula for arbitrary integral powers in calculating power series for the functions in which they were interested. By the same time, they also knew how to calculate the differentials of these functions. So some of the basic ideas of calculus were known in Egypt and India many centuries before Newton. It does not appear, however, that either Islamic or Indian mathematicians saw the necessity of connecting some of the disparate ideas that we include under the name calculus. They were apparently only interested in specific cases in which these ideas were needed. ... There is no danger, therefore, that we will have to rewrite the history texts to remove the statement that Newton and Leibniz invented calculus. Thy were certainly the ones who were able to combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between them, and turn the calculus into the great problem-solving tool we have today."</ref>
== അതുല്യപ്രതിഭകൾ ==
എന്നാൽ ഇത്രയേറെയും സംഭാവനകൾ നൽകിയെങ്കിലും വേണ്ടവിധേന ഇവയൊന്നും പ്രചരിപ്പിയ്ക്കപ്പെട്ടില്ല.പാശ്ചാത്യരാജ്യങ്ങളിൽ കണ്ടുപിടിയ്ക്കപ്പെടുന്നതിന് ഏകദേശം 200 വർഷങ്ങൾക്ക് മുൻപുതന്നെ ഇവയെല്ലാം ഭാരതീയഗണിതത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരുന്നു.ഈ കാലഘട്ടത്തിനു സംഭവിച്ച ഏറ്റവും വലിയ പരാജയം പൂർണ്ണമായി തെളിവുകളൊന്നും ആവിഷ്കരിയ്ക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്ക് നൽകാൻ ശ്രമിച്ചില്ല എന്നതാണ്.പൈ എന്ന സംഖ്യയുടെ കാര്യത്തിൽ തന്നെ ഇത് ഒരു അപരിമേയസംഖ്യ എന്നതിൽ കവിഞ്ഞ് ഈ സംഖ്യകൽക്കുള്ള പൊതുന്യായങ്ങൾ നൽകാൻ കഴിഞ്ഞില്ല.പോളിനോമിയലുകളെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്ക് തുടക്കം കുറിച്ചുവെന്നല്ലാതെ അതേ ദിശയിൽ മുന്നോട്ട് പോകാനോ വർഗ്ഗശ്രേണികളെ(Power Series) ആവിഷ്കരിയ്ക്കാനോ ശ്രമിച്ചില്ല.വിഖ്യാതന്മാരായ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രകാരാണെന്നിരിയ്ക്കലും കെപ്ലർ നിയമങ്ങളിലേയ്ക്ക് എത്തിച്ചേരാൻ സാധിച്ചില്ല.
===അനന്തശ്രേണിയും കലനവും===
അനന്തശ്രേണികളുടെയും കലനത്തിന്റെയും പഠനമേഖലകളിൽ കേരളീയ ഗണിതജ്ഞന്മാരുടെ സംഭാവനകൾ നിരവധിയാണ്.അതിലൊന്ന് താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയശ്രേണിയാണ്
:<math> \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots </math> for <math>|x|<1 </math><ref name =singh>{{cite journal | last1 = Singh | first1 = A. N. | year = 1936 | title = On the Use of Series in Hindu Mathematics | url = | journal = Osiris | volume = 1 | issue = | pages = 606–628 |doi = 10.1086/368443 }}</ref>
എന്നാൽ ഈ സൂത്രവാക്യം പത്താം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇറാഖിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന അൽ ഹാസൻ (ഇബ്ന് അൽ ഹായ്തം) (965-1039) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രഞജ്ഞന്റെ കൃതികളിൽ കണ്ടിട്ടുണ്ട് .<ref>Edwards, C. H., Jr. 1979. ''The Historical Development of the Calculus''. New York: Springer-Verlag.</ref>
കേരള സരണി [[ഗണിതീയ_ആഗമനം|ഗണിതീയ ആഗമനം]] (mathematical induction) എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സൂത്ര വാക്യത്തിന് തെളിവ് അവതരിപ്പിച്ചു:
:<math>1^p+ 2^p + \cdots + n^p \approx \frac{n^{p+1}}{p+1}</math> for large ''n''. ഇതും അൽ ഹാസന് അറിയാമായിരുന്നു .<ref name=roy/>
[[കലനം|അവകലനവും സമാകലനവും]] ആവിഷ്കരിക്കുന്നതിനു മുൻപ് തന്നെ, അവർ സമാനമായ പരികല്പനകൾ ഉപയോഗിച്ച് <math>\sin x</math>, <math>\cos x</math>, and <math> \arctan x</math> എന്നിവക്കുള്ള ([[Taylor series|Taylor-Maclaurin]]) അനന്തശ്രേണികൾ ആവിഷ്ക്കരിച്ചു.<ref name=bressoud>Bressoud, David. 2002. "Was Calculus Invented in India?" ''The College Mathematics Journal'' (Mathematical Association of America). 33(1):2-13.</ref>
'''തന്ത്രസംഗ്രഹ-വാക്യത്തിൽ''' ഈ അനന്തശ്രേണി പദ്യ രൂപത്തിൽ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. അത് ഒരു സമവാക്യ രൂപത്തിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:<ref name=roy/>
:<math>r\arctan(\frac{y}{x}) = \frac{1}{1}\cdot\frac{ry}{x} -\frac{1}{3}\cdot\frac{ry^3}{x^3} + \frac{1}{5}\cdot\frac{ry^5}{x^5} - \cdots , </math> where <math>y/x \leq 1. </math>
:<math>r\sin \frac{x}{r} = x - x\cdot\frac{x^2}{(2^2+2)r^2} + x\cdot \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot\frac{x^2}{(4^2+4)r^2} - \cdot </math>
:<math> r(1 - \cos \frac{x}{r}) = r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} - r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{x^2}{(4^2-4)r^2} + \cdots , </math> where, for <math> r = 1 </math>,
അത് സാധാരണ രൂപത്തിൽ ഇങ്ങിനെ എഴുതാം. ഉദാഹരണത്തിന്
::<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots </math> and
::<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots </math> (കേരള സരണി "[[ഫാക്ടോറിയൽ]]" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നില്ല.)
വൃത്ത ചാപത്തിന്റെ നീളം കാണുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് കേരള സരണി ഇവ തെളിയിച്ചു. (അക്കാലത്ത് ലൈബ്നിറ്റ്സിന്റെ (Leibniz) വിസ്തീർണം കാണുന്ന രീതി ആവിഷകരിച്ചിട്ടുണ്ടായിരുന്നില്ല.)<ref name=roy/>
അവർ <math>\arctan x</math>-ന്റെ ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് <math>\pi</math>-ന് ഒരു അനന്തശ്രേണി കണ്ടുപിടിച്ചു. ഇതു പിൽക്കാലം Gregory series എന്ന പേരിൽ അറിയുവാൻ ഇടയായി.<ref name=roy/>
:<math>\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots </math>
അനന്തശ്രേണികളുടെ ഫയിനൈറ്റ് അപ്പ്രൊക്സിമേഷന്റെ കുറവിന് (error) അവർ നൽകിയ സുത്രവാക്യം ശ്രദ്ധേയമാണ്.
ഉദാഹരണത്തിന്, താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ശ്രേണിയുടെ കുറവ് <math>f_i(n+1)</math>, ( ''n'' ഒറ്റ സംഖ്യയും ''i = 1, 2, 3'') ആണെങ്കിൽ:
:<math>\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3}+ \frac{1}{5} - \cdots (-1)^{(n-1)/2}\frac{1}{n} + (-1)^{(n+1)/2}f_i(n+1)</math>
::where <math>f_1(n) = \frac{1}{2n}, \ f_2(n) = \frac{n/2}{n^2+1}, \ f_3(n) = \frac{(n/2)^2+1}{(n^2+5)n/2}.</math>
അവർ <math>\frac{1}{n^3-n}</math>-ന്റെ വികസിത രൂപം ഉപയോഗിച്ച് <math>\pi</math>:<ref name=roy/>-ന് അതി വേഗം കൺവെർജ് ചെയയുന്ന ഈ ശ്രേണി കണ്ടെത്തി:
:<math>\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3^3-3} - \frac{1}{5^3-5} + \frac{1}{7^3-7} - \cdots </math>
ഈ ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് <math>\pi</math>-ന് ഒൻപതു ദശാംശം വരെ ശരിയായ ഈ അനുപാതമായി സൂചിപ്പിച്ചു: <math>104348/33215 = 3.141592653</math><ref name=roy/>. അവർ സീമ ([[Limit (mathematics)|Limit]]) എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച് ഈ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടുപിടിച്ചു.<ref name=roy/> കേരള സരണിയിലെ ഗണിതജ്ഞർ ചില ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങളെ (trigonometric functions) അവകലനം ചെയ്യാനുള്ള രീതി കണ്ടുപിടിച്ചു.<ref name=katz>Katz, V. J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." ''Mathematics Magazine'' (Mathematical Association of America), 68(3):163-174.</ref> എന്നാൽ ഫലനം എന്ന ആശയമോ ലോഗരിതം, എക്സ്പൊനെന്‌ഷ്യൽ എന്ന ഫലനങ്ങളോ അന്ന് അറിയപ്പെട്ടിരുന്നില്ല. കേരള സരണിയുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെ പറ്റി ആദ്യമായി (1835) വിശദമായി എഴുതിയത് സി.എം. വിഷ് (C. M. Whish) എന്ന ഇംഗ്ലീഷുകാരൻ ആണ്. J. Warren-ന്റെ 1825 യിലെ '''കലാ സങ്കലിത''' <ref>[http://www.physics.iitm.ac.in/~labs/amp/kerala-astronomy.pdf Current Science],</ref> യിൽ കേരളത്തിലെ ജ്യോതി ശാസ്ത്രജ്ഞർ അനന്ത ശ്രേണി കണ്ടുപിടിച്ചതായി പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുണ്ട്. വിഷ് കേരളത്തിലെ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞർ "''laid the foundation for a complete system of fluxions''" എന്നാണ് എഴുതിയത്. അതുപോലെ അവരുടെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ ഉള്ള "''fluxional forms and series to be found in no work of foreign countries.''"എന്നും എഴുതി<ref name="charles">{{Citation
| author =Charles Whish
| year = 1835
| title = Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland
| publisher =
}}
</ref>എന്നാൽ വിഷ്-ന്റെ ലേഖനത്തിന് പ്രചാരം ലഭിച്ചില്ല. കേരള സരണിയുടെ കണ്ടുപിടുത്തങ്ങൾ ഒരു ശതാബ്ദത്തിനു ശേഷം സി. രാജഗോപാലും സഹപ്രവർത്തകരും കൂടെ വെളിച്ചത്തു കൊണ്ടുവന്നു. അവരുടെ രണ്ടു ലേഖനങ്ങളിൽ യുക്തിഭാഷയിൽ ആർക് ടാൻ (arctan) ശ്രേണിക്ക് കൊടുതത്തിട്ടുള്ള ഉപപത്തി വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്,<ref>{{cite journal | last1 = Rajagopal | first1 = C. | last2 = Rangachari | first2 = M. S. | year = 1949 | title = A Neglected Chapter of Hindu Mathematics | url = | journal = Scripta Mathematica | volume = 15 | issue = | pages = 201–209 }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Rajagopal | first1 = C. | last2 = Rangachari | first2 = M. S. | year = 1951 | title = On the Hindu proof of Gregory's series | url = | journal = Scripta Mathematica | volume = 17 | issue = | pages = 65–74 }}</ref>. യുക്തിഭാഷയിൽ സൈൻ (sine) കോസൈൻ (cosine) ഘാതശ്രേണികൾക്കുള്ള (Power Series) ഉപപത്തിയുടെ വിവരണം ഒരു ലേഖനത്തിൽ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്. <ref>{{cite journal | last1 = Rajagopal | first1 = C. | last2 = Venkataraman | first2 = A. | year = 1949 | title = The sine and cosine power series in Hindu mathematics | url = | journal = Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science) | volume = 15 | issue = | pages = 1–13 }}</ref> രണ്ടു ലേഖനങ്ങളിൽ ആർക് ടാൻ (arctan), സൈൻ (sine), കോസൈൻ (cosine) ശ്രേണികൾ '''തന്ത്രസംഗ്രഹ'''യിൽ നിന്ന് പദ്യ രൂപത്തിൽ ഉദ്ധരിക്കുകയും അവ ഇംഗ്ലീഷിലേക്ക് പരിഭാഷ ചെയ്യുകയും ചെയ്തു.<ref>{{cite journal | last1 = Rajagopal | first1 = C. | last2 = Rangachari | first2 = M. S. | year = 1977 | title = On an untapped source of medieval Keralese mathematics | url = | journal = Archive for the History of Exact Sciences | volume = 18 | issue = | pages = 89–102 }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Rajagopal | first1 = C. | last2 = Rangachari | first2 = M. S. | year = 1986 | title = On Medieval Kerala Mathematics | url = | journal = Archive for the History of Exact Sciences | volume = 35 | issue = | pages = 91–99 }}</ref>
==കേരള സരണിയുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ യുറോപ്പിൽ പ്രചരിക്കാനുള്ള സാധ്യത==
==ഇതും കാണുക==
*[[Indian astronomy]]
*[[Indian mathematics]]
*[[Indian mathematicians]]
*[[History of mathematics]]
*[[കേരളീയഗണിതം]]
==കുറിപ്പുകൾ==
{{reflist|2}}
==അവലംബം==
<!--<div style="font-size: 90%">-->
*{{Citation
| last=Bressoud
| first=David
| title=Was Calculus Invented in India?
| journal=The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.)
| volume=33
| issue=1
| year=2002
| pages=2–13
| jstor=1558972
}}.
*Gupta, R. C. (1969) "Second Order of Interpolation of Indian Mathematics", Ind, J.of Hist. of Sc. 4 92-94
*{{Citation
| last1=Hayashi
| first1=Takao
| chapter=Indian Mathematics
| year=2003
| editor1-last=Grattan-Guinness
| editor1-first=Ivor
| title=Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences
| volume=1, pp. 118-130
| place=Baltimore, MD
| publisher=The Johns Hopkins University Press, 976 pages
| publication-year=
| isbn=0-8018-7396-7
}}.
*{{Citation
| last=Joseph
| first=G. G.
| year=2000
| title=The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics
| place=Princeton, NJ
| publisher=Princeton University Press, 416 pages
| isbn=0-691-00659-8
| url=http://www.amazon.com/Crest-Peacock-George-Gheverghese-Joseph/dp/0691006598/
}}.
*{{Citation
| last=Katz
| first=Victor J.
| title=Ideas of Calculus in Islam and India
| journal=Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.)
| volume=68
| issue=3
| year=1995
| pages=163–174
| jstor=2691411
}}.
*Parameswaran, S., ‘Whish’s showroom revisited’, Mathematical gazette 76, no. 475 (1992) 28-36
*{{Citation | last = Pingree | first = David | authorlink = David Pingree | title = Hellenophilia versus the History of Science | year = 1992 | journal = Isis | volume = 83 | issue = 4 | pages = 554–563 | jstor = 234257 | doi = 10.1086/356288}}
*{{Citation
| last=Plofker
| first=Kim
| title=An Example of the Secant Method of Iterative Approximation in a Fifteenth-Century Sanskrit Text
| journal=Historia Mathematica
| volume=23
| issue=3
| year=1996
| pages=246–256
| doi=10.1006/hmat.1996.0026
}}.
*{{Citation
| last=Plofker
| first=Kim
| title=The "Error" in the Indian "Taylor Series Approximation" to the Sine
| journal=Historia Mathematica
| volume=28
| issue=4
| year=2001
| pages=283–295
| doi=10.1006/hmat.2001.2331
}}.
*{{Citation
| last1=Plofker
| first1=K.
| last2=
| first2=
| chapter=Mathematics of India
| pages = 385–514
| date=July 20 2007
| year=2007
| editor1-last=Katz
| editor1-first=Victor J.
| title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook
| volume=
| place=Princeton, NJ
| publisher=Princeton University Press, 685 pages
| isbn=0-691-11485-4
| publication-date=2007
}}.
*C. K. Raju. 'Computers, mathematics education, and the alternative epistemology of the calculus in the Yuktibhâsâ', ''Philosophy East and West'' '''51''', University of Hawaii Press, 2001.<!--website didn't have paper; removed website-->
*{{Citation
| last=Roy
| first=Ranjan
| title=Discovery of the Series Formula for <math> \pi </math> by Leibniz, Gregory, and Nilakantha
| journal=Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.)
| volume=63
| issue=5
| year=1990
| pages=291–306
| jstor=2690896
}}.
*Sarma, K. V. and S. Hariharan: ''Yuktibhasa of Jyesthadeva : a book of rationales in Indian mathematics and astronomy - an analytical appraisal'', Indian J. Hist. Sci. 26 (2) (1991), 185-207
*{{Citation
| last=Singh
| first=A. N.
| title=On the Use of Series in Hindu Mathematics
| journal=Osiris
| volume=1
| issue=
| year=1936
| pages=606–628
| jstor=301627
| doi=10.1086/368443
}}
*{{Citation
| last1=Stillwell
| first1=John
| year=2004
| edition=2
| title=Mathematics and its History
| place=Berlin and New York
| publisher=Springer, 568 pages
| isbn=0-387-95336-1
| url=http://www.amazon.com/Mathematics-its-History-John-Stillwell/dp/0387953361/
}}.
*Tacchi Venturi. 'Letter by Matteo Ricci to Petri Maffei on 1 Dec 1581', ''Matteo Ricci S.I., Le Lettre Dalla Cina 1580–1610'', vol. 2, Macerata, 1613.
</div>
==External links==
* ''[http://www.infinityfoundation.com/mandala/t_es/t_es_agraw_kerala.htm The Kerala School, European Mathematics and Navigation]'', 2001.
*[http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_mathematics.html An overview of Indian mathematics], ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]'', 2002.
*[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Projects/Pearce/index.html Indian Mathematics: Redressing the balance], ''MacTutor History of Mathematics archive'', 2002.
*[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_1.html Keralese mathematics], ''MacTutor History of Mathematics archive'', 2002.
*[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_4.html Possible transmission of Keralese mathematics to Europe], ''MacTutor History of Mathematics archive'', 2002.
*[http://www.canisius.edu/topos/rajeev.asp Neither Newton nor Leibnitz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala], 2005.
*[http://www.physorg.com/news106238636.html "Indians predated Newton 'discovery' by 250 years"] ''phys.org,'' 2007
[[വർഗ്ഗം:ഗണിതം]] [[വർഗ്ഗം:ജ്യോതിശാസ്ത്രം]]
[[en: Kerala school of astronomy and mathematics]]
[[es:Escuela de Kerala]]
[[gl:Escola de Kerala]]
[[hi:केरलीय गणित सम्प्रदाय]]
[[id:Mazhab astronomi dan matematika Kerala]]
[[it:Scuola del Kerala]]
[[ja:ケーララ学派]]
[[no:Kerala-skolen for astronomi og matematikk]]
[[pt:Escola Kerala de astronomia e matemática]]
{{Kerala_school_of_astronomy_and_mathematics}}
| 