ക്രമഗ്രൂപ്പ്
ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ സംക്രിയ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ മേൽ ക്രമനിയമം പാലിക്കുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഗ്രൂപ്പിനെ ക്രമഗ്രൂപ്പ് (Commutative group) അഥവാ ആബേലിയൻ ഗ്രൂപ്പ് (Abelian group) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതായത്, ഗ്രൂപ്പിലെ ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെമേൽ സംക്രിയ ഉപയോഗിച്ചാലും കിട്ടുന്ന ഉത്തരം അംഗങ്ങളുടെ ക്രമത്തെ ആശ്രയിക്കരുത്. (G,•) എന്ന ക്രമഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളാണ് a, b എങ്കിൽ a • b = b • a എന്ന് വരും.
സങ്കലനം സംക്രിയയായ പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണം ക്രമഗ്രൂപ്പിന് ഉദാഹരണമാണ്. ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം തന്നെ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളാണ്. എന്നാൽ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളല്ല. ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പ് ഒരു ചാക്രികമല്ലാത്ത ക്രമഗ്രൂപ്പാണ്. ക്രമഗ്രൂപ്പല്ലാത്ത ഏറ്റവും ചെറിയ ഗ്രൂപ്പ് ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ ആണ്
കെയ്ലി പട്ടിക തിരുത്തുക
(G,•) എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി പട്ടികയിലെ a ആം വരിയിലെ b ആം അംഗം a • b യും b ആം വരിയിലെ a ആം അംഗം b • a യും ആണ്. G ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പാണ് എന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഈ രണ്ട് വിലകളും തുല്യമായിരിക്കും. അതായത്, കെയ്ലി പട്ടിക ഒരു സമമിതീയ മാട്രിക്സ് ആണെന്ന് വരുന്നു.
പരിബദ്ധ ക്രമഗ്രൂപ്പുകൾ തിരുത്തുക
ഏതൊരു പരിബദ്ധ ക്രമഗ്രൂപ്പിനെയും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഘാതം അംഗങ്ങളുള്ള ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളുടെ നേർതുകയായി എഴുതാൻ സാധിക്കും. ഈ പ്രസ്താവനയെ പരിബദ്ധ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളുടെ അടിസ്ഥാനസിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.