ആവർത്തന ദശാംശരൂപങ്ങൾ
ഈ ലേഖനം ഇംഗ്ലീഷ് ഭാഷയിൽ നിന്ന് കൃത്യമല്ലാത്ത/യാന്ത്രികമായ പരിഭാഷപ്പെടുത്തലാണ്. ഇത് ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറോ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് ഭാഷയിലും പ്രാവീണ്യം കുറഞ്ഞ ഒരു വിവർത്തകനോ സൃഷ്ടിച്ചതാകാം. |
ആവർത്തിക്കുന്ന ദശാംശമോ ആവർത്തന ദശാംശമോ ഒരു സംഖ്യയുടെ ദശാംശ പ്രാതിനിധ്യമാണ്, അവയുടെ അക്കങ്ങൾ ആനുകാലികമാണ് (അതിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കൃത്യമായ ഇടവേളകളിൽ ആവർത്തിക്കുന്നു) കൂടാതെ അനന്തമായി ആവർത്തിക്കുന്ന ഭാഗം പൂജ്യമല്ല. ഒരു സംഖ്യ യുക്തിഭദ്രമാണെന്ന് കാണിക്കാൻ കഴിയും, അതിന്റെ ദശാംശ പ്രാതിനിധ്യം ആവർത്തിക്കുകയോ അവസാനിപ്പിക്കുകയോ ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ (അതായത് പരിമിതമായി നിരവധി അക്കങ്ങൾ ഒഴികെ എല്ലാം പൂജ്യമാണ്). ഉദാഹരണത്തിന്, യുടെ ദശാംശ പ്രാതിനിധ്യം 1 / 3 ദശാംശ സ്ഥാനത്തിന് ശേഷം ആനുകാലികമായി മാറുന്നു, "3" എന്ന ഒറ്റ സംഖ്യ എന്നെന്നേക്കുമായി ആവർത്തിക്കുന്നു, അതായത് 0.333 .... കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം 3227 / 555 , അതിന്റെ ദശാംശം ദശാംശബിന്ദുവിന് ശേഷം രണ്ടാമത്തെ അക്കത്തിൽ ആനുകാലികമായി മാറുന്നു, തുടർന്ന് "144" എന്ന ശ്രേണി എന്നെന്നേക്കുമായി ആവർത്തിക്കുന്നു, അതായത് 5.8144144144 .... നിലവിൽ, ദശാംശങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നതിന് സാർവത്രികമായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട ഒറ്റ നോട്ടോ പദപ്രയോഗമോ ഇല്ല.
അനന്തമായി ആവർത്തിക്കുന്ന അക്ക ശ്രേണിയെ റിപ്പീറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ റീപെൻഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ആവർത്തിക്കുന്നത് ഒരു പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ഈ ദശാംശ പ്രാതിനിധ്യത്തെ ആവർത്തന ദശാംശമെന്നതിനുപകരം ടെർമിനേറ്റിംഗ് ഡെസിമൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം പൂജ്യങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാനും ഈ പൂജ്യങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് ദശാംശം അവസാനിപ്പിക്കാനും കഴിയും. [1]അവസാനിക്കുന്ന എല്ലാ ദശാംശ പ്രാതിനിധ്യവും ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാം, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ 10 ന്റെ ശക്തിയാണ് (ഉദാ. 1.585 = 1585 / 1000 ); ഇത് ഫോമിന്റെ അനുപാതമായി എഴുതപ്പെട്ടേക്കാം കെ / 2n5 മി (ഉദാ. 1.585 = 317 / 2352 ). എന്നിരുന്നാലും, അവസാനിക്കുന്ന ദശാംശ പ്രാതിനിധ്യമുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകൾക്കും നിസ്സാരമായി രണ്ടാമത്തെ, ബദൽ പ്രാതിനിധ്യം ആവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ദശാംശമാണ്. അക്കത്തിന്റെ ആവർത്തനമാണ് 9. ഇത് അന്തിമ (വലതുവശത്ത്) പൂജ്യമല്ലാത്ത അക്കത്തെ ഒന്നായി കുറച്ചുകൊണ്ട് 9 ന്റെ ഒരു റിപ്പീന്റ് കൂട്ടിച്ചേർത്ത് ലഭിക്കും. 1.000 ... = 0.999 ... കൂടാതെ 1.585000 ... = 1.584999 ... ഇതിന് രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. (സാധാരണ ഡിവിഷൻ അൽഗോരിതത്തിന്റെ പരിഷ്കരിച്ച ഫോം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഇത്തരത്തിലുള്ള ആവർത്തന ദശാംശത്തെ നീണ്ട വിഭജനം വഴി ലഭിക്കും.)[2]
രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അനുപാതമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഏത് സംഖ്യയും യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. അവരുടെ ദശാംശ പ്രാതിനിധ്യം അവസാനിക്കുകയോ അനന്തമായി ആവർത്തിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല, പക്ഷേ പതിവ് ആവർത്തനമില്ലാതെ എന്നെന്നേക്കുമായി വ്യാപിക്കുന്നു. അത്തരം യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ് 2, of എന്നിവയുടെ വർഗ്ഗമൂലം.
പശ്ചാത്തലംതിരുത്തുക
നൊട്ടേഷൻതിരുത്തുക
ആവർത്തിക്കുന്ന ദശാംശങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന് നിരവധി നോട്ടേഷണൽ കൺവെൻഷനുകൾ ഉണ്ട്. അവയൊന്നും സാർവത്രികമായി അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്നില്ല.
- യുണൈറ്റഡ് സ്റ്റേറ്റ്സ്, കാനഡ, ഇന്ത്യ, ഫ്രാൻസ്, ജർമ്മനി, സ്വിറ്റ്സർലൻഡ്, സെചിയ, സ്ലൊവാക്യ എന്നിവിടങ്ങളിൽ കൺവെൻഷൻ റിപ്പീറ്റിന് മുകളിൽ ഒരു തിരശ്ചീന രേഖ (വിൻകുലം) വരയ്ക്കുക എന്നതാണ്. (ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണുക, കോളം വിൻകുലം.)
- യുണൈറ്റഡ് കിംഗ്ഡം, ന്യൂസിലാൻഡ്, ഓസ്‌ട്രേലിയ, ഇന്ത്യ, ദക്ഷിണ കൊറിയ, ചൈനയിലെ പ്രധാന ഭൂപ്രദേശം എന്നിവിടങ്ങളിൽ, കൺവെൻഷൻ ആവർത്തിക്കുന്നതിന്റെ ഏറ്റവും പുറത്തെ അക്കങ്ങൾക്ക് മുകളിൽ ഡോട്ടുകൾ സ്ഥാപിക്കുക എന്നതാണ്. (ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണുക, നിര ഡോട്ടുകൾ.)
- യൂറോപ്പിലെയും വിയറ്റ്നാമിലെയും റഷ്യയിലെയും ചില ഭാഗങ്ങളിൽ, പാരന്റീസിസിൽ ആവർത്തിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുത്താനാണ് കൺവെൻഷൻ. (ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണുക, പാരന്റ്സിസ് നിര.)
- ഇത് സാധാരണ അനിശ്ചിതത്വത്തിനായുള്ള നൊട്ടേഷനിൽ ആശയക്കുഴപ്പം ഉണ്ടാക്കും.
- സ്പെയിനിലും ചില ലാറ്റിനമേരിക്കൻ രാജ്യങ്ങളിലും, വിൻകുലം, ഡോട്ട്സ് നോട്ടേഷൻ എന്നിവയ്ക്ക് പകരമായി റിപ്പന്റിന് മുകളിലുള്ള ആർക്ക് നൊട്ടേഷനും ഉപയോഗിക്കുന്നു. (ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ, നിര ആർക്ക് കാണുക.
അനൗപചാരികമായി, ആവർത്തിക്കുന്ന ദശാംശങ്ങളെ പലപ്പോഴും ഒരു ദീർഘവൃത്തമാണ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് (മൂന്ന് കാലഘട്ടങ്ങൾ, 0.333 ...), പ്രത്യേകിച്ചും മുമ്പത്തെ നോട്ടേഷണൽ കൺവെൻഷനുകൾ ആദ്യം സ്കൂളിൽ പഠിപ്പിക്കുമ്പോൾ. ഈ ദീർഘവൃത്തങ്ങൾ യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾക്കായി ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഏത് അക്കങ്ങൾ ആവർത്തിക്കണം, ആവർത്തനം സംഭവിക്കുന്നുണ്ടോ എന്നതിലെ അനിശ്ചിതത്വം ഈ നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുന്നു; ഉദാഹരണത്തിന്, 3.14159 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം ....
ഉദാഹരണങ്ങൾതിരുത്തുക
| ഭിന്നം | വിൻകുലം | കുത്തുകൾ | പാരന്റ്സിസ് | ആർക്ക് | എലിപ്സിസ് |
|---|---|---|---|---|---|
| 0. | 0.(1) | 0. | |||
| 0. | 0.(3) |
അവലംബങ്ങൾതിരുത്തുക
- ↑ Courant, R. and Robbins, H (1996). What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods (2nd edition). Oxford, England: Oxford University Press.
{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) - ↑ Beswick, Kim (2004). Why Does 0.999... = 1?: A Perennial Question and Number Sense. Australian Mathematics Teacher, 60 (4).